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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 6

Deseja-se obter a raiz positiva da equação: 𝑏 𝑥 2 + 𝑥 − 𝑎 = 0 ,   𝑎 > 0 ,   𝑏 > 0 , através do processo iterativo definido por: 𝑥 𝑘 + 1 = 𝑎 − 𝑏 𝑥 𝑘 2 . Qual a condição que devemos impor para a e b para que haja convergência? Por que ?

Passo 1

Eaii? Tudo em cima? Vamos utilizar as regras de convergência de processos iterativos lineares para resolver esta questão, em específico, utilizaremos a seguinte expressão:

𝜓 𝑥 <   1

Que, dadas 𝜓 𝑥   𝑒   𝜓 ′ 𝑥 contínuas em ℝ   , teremos a certeza de que a expressão iterativa vai convergir para a raiz 𝑥 _ .

Passo 2

Utilizando a expressão citada acima na derivada da função:

𝜓 ′ 𝑥   <   1   →   2 𝑏 𝑥 + 1   <   1    

Logo devemos impor que 𝑎   <   1 2 𝑏   𝑜 𝑢   𝑏   <   1 2 𝑎 ,   𝑝 𝑜 𝑖 𝑠   𝜓 ′ 𝑥 < 1 para 2 𝑏 𝑥 + 1   <   1 .

Resposta

Devemos impor: 𝑎   <   1 2 𝑏   𝑜 𝑢   𝑏   <   1 2 𝑎 .

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