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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 3

Considere os seguintes números: 𝑥 1   =   34   , 𝑥 2   =   0.125   e 𝑥 3   =   33.023   que estão na base 10. Escreva-os na base 2.

Passo 1

Eai coleguinha! Vamos resolver mais um exercício de cálculo numérico?!

Essa questão pede para mudarmos um número da base 10 e levá-lo para a base 2 (base binária). Para isso vamos fazer divisões inteiras por dois e usar o resto da mesma para a mudança. Calma que vai ficar mais claro na resolução, então bora lá!

Passo 2

Realizando as divisões inteiras em 𝑥 1   =   34   :

34   ÷   2   =   17   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

17   ÷   2   =   8   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   1  

8   ÷   2   =   4   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

4   ÷   2   =   2   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

2   ÷   2   =   1   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

1   ÷   2   =   0   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   1  

Utilizando esse método, obtemos o número 34 em binário na ordem inversa. Agora basta representá-lo de baixo para cima dessa forma:

100010  

Logo teremos:

𝑥 1   =   34 10   =   100010 2

Passo 3

Para 𝑥 2   temos , inicialmente, que multiplicar a parte decimal por 2. Posteriormente devemos multiplicar a parte decimal do resultado obtido também por 2. Devemos repetir até encontrar o valor 1. Vamos resolver para ficar mais claro.

𝑥 2   =   0.125  

0.125   ×   2   =   0.25   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0.25   ×   2   =   0.5   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0.5   ×   2   =   1.0   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

Observe que cada dígito representa o valor inteiro do número obtido na multiplicação. Esses dígitos, dessa vez pegos de cima para baixo, são a representação na base dois que estávamos procurando! Logo ficaremos com:

𝑥 2   =   0.125 10   =   0.001 2

Passo 4

Por fim vamos fazer a transformação em 𝑥 3   e para isso teremos que fazer separadamente a parte inteira do número e a parte decimal, seguindo os dois métodos que já vimos acima:

Parte inteira 33 :

33   ÷   2   =   16   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   1  

16   ÷   2   =   8   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

8   ÷   2   =   4   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

4   ÷   2   =   2   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

2   ÷   2   =   1   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   0  

1   ÷   2   =   0   →   𝑟 𝑒 𝑠 𝑡 𝑜   1  

Parte decimal 0.23 :

0.23   ×   2   =   0.46   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0.46   ×   2   =   0.92   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

0.96   ×   2   =   1.84   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0.84   ×   2   =   1.68   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0.68   ×   2   =   1.36   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   1  

0.36   ×   2   =   0.72   →   𝑑 í 𝑔 𝑖 𝑡 𝑜   0  

…

Note que a condição de parada da parte decimal é encontrar o valor 1 ou uma repetição dos mesmos valores obtidos nas multiplicações (Caracterizando uma dízima periódica), como aparentemente não chegaremos em nenhuma das duas condições tão cedo vamos parar por aqui. Por fim só falta juntar a parte inteira com a decimal ficando com:

𝑥 3   =   33.023 10   =   100001.00111 … 2

Transformados todos os números é só abrir um sorriso porque acabamos!

Resposta

𝑥 1   =   100010 2

𝑥 2   =   0.001 2

𝑥 3   =   100001.00111 … 2

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Efetue as operações indicadas, utilizando aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos.d) 367 + 0.6 + 0.5   𝑒   367 + 0.6 + 0.5
Efetue as operações indicadas, utilizando aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos.e) ∑ 𝑖 = 1 100 0.11 (compare seu resultado com 100   × 0.11      )
Usando arredondamento para 4 dígitos significativos, efetue as operações indicadas, e escreva o resultado na forma normalizada.b) 0.5971 × 10 − 1 − 0.5956 × 10 − 2 .
Usando arredondamento para 4 dígitos significativos, efetue as operações indicadas, e escreva o resultado na forma normalizada.a) 0.5971 × 10 3 + 0.4268 × 10 0