A curvatura de uma coluna delgada sujeita a uma carga P pode ser modelada por:

d 2 y d x 2 = M E I

Onde d 2 y d x 2 especifica a curvatura, M é o momento de curvatura, E é o modulo de elasticidade, e I é o momento de inércia da seção transversal sobre o eixo neutro. Considerando o corpo livre na Figura é claro que o momento de curvatura em x   é   M   =   - P y . Substituindo esse valor na equação

d 2 y d x 2 + p 2 y = 0 , onde p 2 = P E I

Isto pode ser entendido como uma deformação da carga porque elas representam os níveis nos quais as colunas movimentam-se em cada deformação sucessiva. Na prática, em geral, o autovalor correspondente à n   =   1 é o de interesse porque a quebra usualmente ocorre quando a primeira coluna se deforma. Assim, a carga crítica pode ser definida como:

P = n 2 π 2 E I L 2

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide uma curvatura de uma coluna delgada sujeita a uma carga P pode ser modelada por:

d 2 y d x 2 = M E I

Onde d 2 y d x 2 especifica a curvatura, M é o momento de curvatura, E é o modulo de elasticidade, e I é o momento de inércia da seção transversal sobre o eixo neutro. Considerando o corpo livre na Figura é claro que o momento de curvatura em x   é   M   =   - P y . Substituindo esse valor na equação

d 2 y d x 2 + p 2 y = 0 , onde p 2 = P E I

Isto pode ser entendido como uma deformação da carga porque elas representam os níveis nos quais as colunas movimentam-se em cada deformação sucessiva. Na prática, em geral, o autovalor correspondente à n   =   1 é o de interesse porque a quebra usualmente ocorre quando a primeira coluna se deforma. Assim, a carga crítica pode ser definida como:

P = n 2 π 2 E I L 2

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha essa questão e bem conceitual e ele nos pede para determinar a carga crítica, sendo

y = A sin ⁡ p x + B cos ⁡ p x

Para P L = n π , temos

y = A sin ⁡ ( n π ) + B cos ⁡ ( n π )

Logo temos com,

P = n π L

y = A sin ⁡ n π L + B cos ⁡ n π L

y 0 = 0       e       y L = 0

Ficando,

y 0 → B = 0

y L = 0 → sin ⁡ n π L = 0

n π L = P → P = n 2 π 2 L 2

Sendo sua carga crítica igual a,

P = π E I L 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

P = π E I L 2

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