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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas Aplicados e Projetos - Ex. 2

Considere o seguinte sistema de equações diferenciais, com coeficientes constantes:

d y 1 d x = f 1 ( x , y 1 ,   y 2 … , y n ) d y 2 d x = f 2 ( x , y 1 ,   y 2 … , y n ) d y 3 d x = f 3 ( x , y 1 ,   y 2 … , y n ) ⋮ d y n d x = f 3 ( x , y 1 ,   y 2 … , y n )

Se escrevermos na forma:

y ' t = A y ( t )

então a solução geral do sistema é dada por:

y t = ∑ k = 1 n c k e λ k t v k

onde: c k são constantes arbitrárias, λ k são os autovalores de A   e   v k seus correspondentes autovetores.

Considere os sistemas:

I d y 1 d x = 10 y 1 d y 2 d x = y 1 - 3 y 2 - 7 y 3 d y 3 d x = 2 y 2 + 6 y 3           I I d y 1 d x = - 10 y 1 - 7 y 2 + 7 y 3 d y 2 d x = 5 y 1 + 5 y 2 - 4 y 3   d y 3 d x = - 7 y 1 + 5 y 2 + 6 y 3

Determine a solução geral destes sistemas, usando um método numérico `a sua escolha para determinar todos os auto-valores e autovetores.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide considerando o seguinte sistema de equações diferenciais, com coeficientes constantes:

d y 1 d x = f 1 ( x , y 1 ,   y 2 … , y n ) d y 2 d x = f 2 ( x , y 1 ,   y 2 … , y n ) d y 3 d x = f 3 ( x , y 1 ,   y 2 … , y n ) ⋮ d y n d x = f 3 ( x , y 1 ,   y 2 … , y n )

Se escrevermos na forma:

y ' t = A y ( t )

então a solução geral do sistema é dada por:

y t = ∑ k = 1 n c k e λ k t v k

onde: c k são constantes arbitrárias, λ k são os autovalores de A   e   v k seus correspondentes autovetores.

Considere os sistemas:

I d y 1 d x = 10 y 1 d y 2 d x = y 1 - 3 y 2 - 7 y 3 d y 3 d x = 2 y 2 + 6 y 3           I I d y 1 d x = - 10 y 1 - 7 y 2 + 7 y 3 d y 2 d x = 5 y 1 + 5 y 2 - 4 y 3   d y 3 d x = - 7 y 1 + 5 y 2 + 6 y 3

Determine a solução geral destes sistemas, usando um método numérico `a sua escolha para determinar todos os auto-valores e autovetores.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão ele pede para determinarmos a solução geral dos sistemas sendo,

I d y 1 d x = 10 y 1 d y 2 d x = y 1 - 3 y 2 - 7 y 3 d y 3 d x = 2 y 2 + 6 y 3           I I d y 1 d x = - 10 y 1 - 7 y 2 + 7 y 3 d y 2 d x = 5 y 1 + 5 y 2 - 4 y 3   d y 3 d x = - 7 y 1 + 5 y 2 + 6 y 3

Ficando,

I - y t = 11 y 1 - 3 y 2 - y 3

I I → y t = - 12 y 1 - 7 y 2 + 9 y 3

Com isso, dado que o somatório pode ser definido por,

d y n d x = f 3 ( x ,   y 1 ,   y 2 ,   … ,   y n )

Temos,

11 y 1 - 3 y 2 - y 3 - 12 y 1 - 7 y 2 + 9 y 3

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

11 y 1 - 3 y 2 - y 3 - 12 y 1 - 7 y 2 + 9 y 3

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