No problema 7.3 foi razoavelmente fácil obter os autovalores pois era conhecida a expressão analítica da solução, o que em geral não acontece na prática. Assim, podemos obter os autovalores de (7.19), substituindo a derivada segunda pela diferença dividida central, isto é, substituindo d 2 y d x 2 por:

y i + 1 - 2 y i + y i h 2

Fazendo isso, podemos escrever (7.20) como:

y i + 1 - 2 y i + y i h 2 + p 2 y i = 0

y i + 1 - 2 - h 2 p 2 y i + y i = 0

Escrevendo esta equação para uma série de nós ao longo do eixo da coluna, obtém-se um sistema de equações homogêneas. Por exemplo, se a coluna é dividida em cinco segmentos (isto é, quatro nós interiores), o resultado é:

Considerando os mesmos dados do problema 7.3 determine os autovalores para os casos:

a) um;

b) dois;

c) três;

d) quatro nós interiores, usando método numérico à sua escolha. Lembre-se: desde que L   =   3 , segue que para um nó interior h = 3 2 , para dois nós interiores h   = 3 3 , etc.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide no problema 7.3 foi razoavelmente fácil obter os autovalores pois era conhecida a expressão analítica da solução, o que em geral não acontece na prática. Assim, podemos obter os autovalores de (7.19), substituindo a derivada segunda pela diferença dividida central, isto é, substituindo d 2 y d x 2 por:

y i + 1 - 2 y i + y i h 2

Fazendo isso, podemos escrever (7.20) como:

y i + 1 - 2 y i + y i h 2 + p 2 y i = 0

y i + 1 - 2 - h 2 p 2 y i + y i = 0

Escrevendo esta equação para uma série de nós ao longo do eixo da coluna, obtém-se um sistema de equações homogêneas. Por exemplo, se a coluna é dividida em cinco segmentos (isto é, quatro nós interiores), o resultado é:

Considerando os mesmos dados do problema 7.3 determine os autovalores para os casos:

a) um;

b) dois;

c) três;

d) quatro nós interiores, usando método numérico à sua escolha. Lembre-se: desde que L   =   3 , segue que para um nó interior h = 3 2 , para dois nós interiores h   = 3 3 , etc.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha dado a equação homogênea:

Temos que na letra (a) para determinarmos os autovalores para o caso 1 temos,

y i + 1 - 2 y i + y i h 2 → y 2 - 2 y 1 + y 1 2 - h 2 p 2 → y 2 - y 1 2 h 2 p 2

Já na letra (b) para dois termos,

y 2 + 1 - 2 y 2 + y 2 2 - h 2 p 2 → y 3 - y 2 2 - h 2 p 2

E na letra ( c ) para três termos,

y 4 - y 3 2 - h 2 p 2

E por fim na letra (d) pra 4 nós temos,

y 4 + 1   - 2 y 4 + y 4 - 1 ( 2 - h 2 p 2 ) → y 5 - 2 y 4 + y 3 ( 2 - h 2 p 2 )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) y 2 - y 1 2 h 2 p 2

b) y 3 - y 2 2 - h 2 p 2

c) y 4 - y 3 2 - h 2 p 2

d) y 5 - 2 y 4 + y 3 ( 2 - h 2 p 2 )

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