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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 22

Determinar todas as raízes do polinômio: 𝑃 𝑥 = 𝑥 3 − 5 𝑥 2 − 𝑥 + 5 = 0 , com precisão de 10 − 2 , usando o método de Newton e o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner para o cálculo da primeira raiz.

Passo 1

Eaí amigos! Vamos aplicar o método de Newton para determinar uma das raízes do polinômio. Para isso vamos considerar as seguintes alterações na fórmula do método:

𝑥 𝑘 + 1 =   𝑥 𝑘 − 𝑃 𝑥 𝑃 ′ 𝑥

Também iremos usar o algoritmo de Briot-ruffini para determinar os valores de P(x) e P’(x).

Passo 2

Usando o algoritmo vamos obter os seguintes valores:

Lembre-se do passo a passo do algoritmo de Briot Ruffini, em que colocamos os coeficientes do polinômio na primeira linha. Descemos o primeiro coeficiente (no caso o 1) e o multiplicamos por 1.2. Com isso, basta somar com o valor do próximo coeficiente ficando com

( 1.2   −   5   =   − 3.8   ). Continuamos o mesmo processo até o último coeficiente (e depois fazemos tudo novamente com os novos coeficientes obtidos, que serão referentes ao nosso P’(x)).Como você pode ver, os valores destacados serão substituídos na fórmula que vimos lá no começo, ficando com:

𝑥 1   =   1.2   −   − 1.672 − 8.68 = 1.00737 …

Para realizar mais iterações. Basta substituir o valor encontrado e usá-lo no lugar do 1.2 que era nosso valor inicial.

Repetindo o processo, vamos ter as seguintes aproximações da raiz:

𝑥 2   =   0.99270  

𝑥 3   =   1.01217  

Logo verificamos que existe uma raiz em 𝑥 _ = 1 . Além desta raiz, se olharmos graficamente as seguintes raízes podem ser estimadas nos pontos 𝑥   =   5   𝑒   𝑥 = − 1   . Acabamos aqui, até mais.

Resposta

O polinômio possui raízes em 𝑥   =   5   ,   𝑥 = − 1   𝑒   𝑥   _ ≈   1 .

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