Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Aplicados e Projetos - Ex. 1
A equação de Kepler, usada para determinar orbitas de satélites é dada por:
Dado que , obtenha a raiz da equação de Kepler.
Passo 1
E aí galera do Responde Ai, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.
A questão ela te fornece uma equação não linear, porque você não consegue isolar , e a questão pergunta qual é o valor de para a situação que foi informada.
Para resolver esse tipo de questão precisamos utilizar um método iterativo, o método iterativo é um método que possui uma sequencia de passos que se repetem, até que a solução seja alcançada com a tolerância fornecida e o método que vamos utilizar é o método de newton.
Eu detesto decorar, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton para sistemas de equações não lineares com duas equações e duras variáveis é o seguinte:
- Primeiro passo: estimativa inicial.
- Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
- Terceiro passo: verificar a convergência.
- Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada
- Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
- Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.
Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse pode gerar passos demasiados.
Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.
Passo 2
Primeiramente, precisamos da equação não linear e para isso é substituir os valores fornecidos na questão para obtê-la, portanto, temos que:
Igualando a expressão a ,temos:
Agora vamos calcular a derivada para utilizar o método de newton, portanto:
Agora vamos utilizar o método de Newton, belezinha? Vamos lá
Passo 3
Para resolver a questão vamos utilizar o método que foi apresentado no passo 1, vamos chutar uma estimativa inicial , portanto temos que:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro Passo: , portanto não é raiz
- Método de Newton – Cálculo da derivada:
- Método de Newton – incremento da solução:
Como não encontramos a raiz ainda, sendo assim, precisamos aplicar o método de newton até que o valor da função seja menor que a tolerância, portanto:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro Passo: , portanto não é raiz
- Método de Newton – Cálculo da derivada:
- Método de Newton – incremento da solução:
Como não encontramos a raiz ainda, vamos aplicar mais uma vez o método de newton.
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro Passo: , portanto é é a raiz.
Grandinho né? Eu sei, mas esse roteirozinho de passo é sempre o mesmo. Eu sei que você consegue desenrolar. E ai, curtiu? Responde Ai, vlwwww