Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios complementares - Ex. 45
Considere o seguinte problema:” dado um polinômio de grau n com coeficientes reais, P(z), onde z é uma variável complexa, determinar uma raiz complexa de , se existir, ou seja, resolver a equação P(z) = 0”. Como , o polinômio pode ser escrito na forma:
Então resolver a equação é equivalente a resolver o seguinte sistema de equações:
Dada uma aproximação inicial conveniente, podemos resolver este sistema pela extensão do método de Newton (para sistemas não lineares).
Aplique o processo descrito acima para determinar uma aproximação da raiz complexa de , tomando como valor inicial .
Passo 1
E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.
A questão te informa que a variável é dada por e pede as raízes do polinômio utilizando o método de newton para sistemas de equação não linear.
Basicamente, precisamos substituir o valor de no polinômio e vamos ter uma parte real e uma imaginária gerando a seguinte equação:
E para isso ser verdade, temos que cada parcela precisa ser zero, portanto:
Uma vez que as equações estão prontas precisamos resolver pelo método de Newton, mas oque é esse método né?
Bem, eu detesto decorar, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton para sistemas de equações não lineares com duas equações e duas variáveis é o seguinte:
- Primeiro passo: estimativa inicial.
- Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
- Terceiro passo: verificar a convergência.
- Quarto passo: Método de Newton
- Calcular as derivadas parciais
- Calcular os determinantes das matrizes
- Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
- Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.
Vamos definir aqui que o critério de convergência é para que não fique muita conta, certinho?
Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.
Passo 2
Primeiramente, vamos obter as equações não lineares. Não dá para resolver o problema sem as equações né?
As nossas equações são obtidas substituindo no polinômio que foi informado na questão, onde é possível obter a seguinte equação:
Portanto, temos que:
Logo, temos:
Para utilizar o método de Newton vamos precisar das derivadas, portanto, temos que as derivadas são dadas por:
Agora que temos as derivadas e as funções, vamos utilizar o método de Newton e vamos encontrar as raízes do polinômio belezinha?
Vamos lá então.
Passo 3
Para encontrar a segunda raiz vamos utilizar a estimativa fornecida pela questão, uma vez que já calculamos as derivadas, vamos apenas seguir o roteiro.
Partindo o mesmo passo a passo, temos que:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
- Quarto passo:
- Quinto Passo:
Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo:
- , logo não é raiz
- Quarto passo:
- Quinto passo:
Aplicando o método iterativo temos:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo:
- , logo é a raiz
Grandinho né? Mas relaxa, sei que você vai conseguir. E ae, o que achou? Responde Ai, vlwwwwwwww e até mais.