Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios complementares - Ex. 43
Mostre que o sistema não linear:
Possui exatamente 4 raízes. Determine as raízes usando o método de Newton, com 2 dígitos significativos corretos, iniciando com
Passo 1
E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.
Bem, a questão te fornece um sistema de equações de duas variáveis e te informa que o sistema possui 4 raízes, além disso, te informa as estimativas iniciais.
Aí vem a pergunta, “Preciso fazer oque?”
Basicamente precisamos encontrar as soluções do sistema partindo de uma estimativa inicial que por sorte já foi dada na própria questão, que em geral é a parte mais complicada.
O método de resolução é o método de Newton que foi adaptado para sistemas de equação não linear e a melhor forma de resolver questões de cálculo numérico é memorizar um roteirozinho de cálculo para sempre utilizar para nunca se perder nas contas.
O roteiro de cálculo é sempre o mesmo, precisamos realizar os passos abaixo seguidamente até encontrar o valor das soluções que corresponde a:
Portanto:
- Primeiro passo: estimativa inicial.
- Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
-
Terceiro passo: verificar a convergência.
-
Quarto passo: Método de Newton
- Calcular as derivadas parciais
-
Calcular os determinantes das matrizes
-
Quinto passo: Calcular o incremento
- Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.
Vamos definir aqui que o critério de convergência é que (devido que a resposta pergunta dois dígitos significativos).
Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.
Passo 2
Primeiramente, precisamos calcular as derivadas parciais do sistema de equação. Já que vamos utilizar eles várias vezes ao longo do exercício:
Agora que temos as derivadas parciais, vamos utilizar o roteiro que vimos anteriormente para encontrar as raízes.
Então, vamos utilizar a primeira estimativa:
Vamos lá então.
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo (1,1) não é raiz.
-
Quarto passo:
-
Quinto Passo:
Agora que terminamos o primeiro ciclo, vamos retornar para o passo número 1, que é dado por:
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- . Logo temos que são raízes para uma aproximação de .
Sacou como é? Trabalhoso né?
Enfim, vamos realizar esse passo a passo para cada estimativa inicial daquela. E aí vamos para o próximo?
Passo 3
Para encontrar a segunda raiz vamos utilizar a segunda estimativa fornecida pela questão, uma vez que já calculamos as derivadas vamos apenas seguir o roteiro.
Partindo o mesmo passo a passo, temos que:
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo (1,-1) não é raiz.
-
Quarto passo:
-
Quinto Passo:
Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
-
Quarto passo:
-
Quinto Passo:
Retornando para os critérios de convergência temos que:
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo são as raízes.
Para a próxima raiz.
Passo 4
A próxima estimativa inicial é dada por:
Agora vamos para o método de newton:
Partindo o mesmo passo a passo, temos que:
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
-
Quarto passo:
-
Quinto Passo:
- Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
-
Quarto passo:
-
Quinto Passo:
Como não encontramos as raízes ainda, vamos aplicar o método mais uma vez.
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
-
Quarto passo:
-
Quinto Passo:
Aplicando o método de newton mais uma vez temos que:
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo são raízes.
Passo 5
E finalmente as últimas raízes vão ser obtidas utilizando a seguinte estimativa inicial.
E aplicando mais uma vez o método de newton, temos que:
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
-
Quarto passo:
-
Quinto Passo:
- Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.
Como não encontramos a raiz, vamos realizar o método de newton mais uma vez.
E aplicando mais uma vez o método de newton, temos que:
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo não é raiz.
-
Quarto passo:
-
Quinto Passo:
- Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.
Aplicando o método de newton mais uma vez:
- Primeiro passo:
-
Segundo passo:
-
Terceiro passo:
- , logo são raízes.
E finalmente provamos que o problema existe 4 raízes e encontramos as 4 raízes. Eu sei, grandinho demais. Geralmente problemas de sistemas de equações não lineares não são grandinhos assim, em geral, o professor coloca apenas a primeira solução que precisa aplicar o método apenas uma única vez então recomendo memorizar o roteiro de cálculo do passo 1, para ficar mais dinâmico na sua mente e você montar tudo direitinho em qualquer prova.
E aí? Curtiu? Responde Ai, vlwwwwww e até mais.
Resposta
Todos os passos foram devidamente demonstrados nas etapas anteriores.