Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Aplicados e Projetos - Ex. 5
A Figura 3.18 corresponde a um cabo uniforme, como por exemplo uma linha de transmissão suspensa em dois apoios e sob a ação de seu próprio peso.
A curva correspondente é uma catenária, cuja equação é dada por:
Onde:
- – Tração no cabo em
- – Peso por unidade de comprimento
Além disso temos que em , portanto,
E o comprimento do cabo é dada por:
Resolva então o seguinte problema: Um cabo de telefone pesando está simplesmente apoiado em dois pontos cuja distância é de 30 metros. Para um comprimento de cabo de 33 metros qual é o valor da flecha ?
Passo 1
E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.
A questão em si te fornece um bocado de informação e pede basicamente para calcular o valor do , porém ela não te deu o valor de . Então aqui temos um sistema de equação não linear a priori.
Mas temos uma sacadinha, olha só, podemos montar uma equação onde utilizamos a seguinte informação:
Onde iremos plotar essa função para encontrar uma estimativa inicial para o valor de , uma vez que for encontrado poderemos encontrar o valor de através da seguinte equação:
Só que para resolver esse tipo de questão que envolve encontrar raízes de soluções para equações não lineares, precisamos utilizar um método iterativo, o método iterativo é um método que possui uma sequência de passos que se repetem, até que a solução seja alcançada com a tolerância fornecida e o método que vamos utilizar é o método de newton por ele precisar apenas de uma única estimativa e ter uma convergência mais acelerada.
Eu não sou muito amigável com a ideia de decorar as coisas, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton para sistemas de equações não lineares com duas equações e duras variáveis é o seguinte:
- Primeiro passo: estimativa inicial.
- Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
- Terceiro passo: verificar a convergência.
- Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada
- Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
- Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.
Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse podem gerar passos demasiados.
Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.
Passo 2
Primeiramente, precisamos da equação não linear e essa equação nos é informada na nossa questãozinha.
Substituindo os demais valores na nossa equação temos que:
Calculando a derivada para o método de newton temos:
Derivando temos que:
Portanto temos que:
Agora que temos as funções a derivada da , precisamos aplicar o método de newton em cada equação e encontrar a raiz de cada equação.
Mas antes de tudo, vamos fazer uma estimativa né? Como encontrar essa estimativa?
A melhor maneira é plotar a função, eu plotei fazendo variar até e encontrei o seguinte gráfico:
Analisando o nosso gráfico, podemos verificar que temos uma raiz próximo de 30, então essa vai ser nossa estimativa inicial.
Agora vamos utilizar o método de newton, belezinha? Vamos lá
Passo 3
Vamos procurar a raiz da primeira equação que a raiz de:
E para resolver a questão vamos utilizar o método que foi apresentado no passo 1, vamos chutar uma estimativa inicial , portanto temos que:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro Passo: , portanto não é raiz
- Método de Newton – Cálculo da derivada:
- Método de Newton – incremento da solução:
Como não encontramos a raiz ainda, sendo assim, precisamos aplicar o método de newton até que o valor da função seja menor que a tolerância, portanto:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro Passo: , portanto é a raiz.
Passo 4
Como temos que é a raiz, vamos agora calcular o , portanto temos que:
Portanto, temos que: