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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 14

A equação 𝑥   =   𝑡 𝑔 𝑥 tem uma raiz entre 𝜋 2   𝑒   3 𝜋 2 . Determiná-la pelo método das secantes com erro inferior a 10 − 3 .

Passo 1

Salve meu colega! Tudo tranquilo? Neste exercício iremos usar o método das secantes para calcular a raiz da função dada. Lembre-se que a fórmula é a seguinte:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 1 × 𝑓 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘 × 𝑓 𝑥 𝑘 − 1 𝑓 𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 − 1

Sabendo a fórmula, bora para o próximo passo!

Passo 2

Primeiramente vamos alterar o formato da equação para facilitar nossos cálculos. Usaremos 𝑡 𝑔 𝑥 − 𝑥 . Precisamos , agora, chutar um intervalo e verificar a existência de raiz no mesmo, lembre-se que para existir raiz precisamos que 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏 < 0 em um intervalo 𝑎 ,   𝑏 :

Como o exercício nos deu uma mãozinha dizendo que a raiz está entre 𝜋 2 𝑒   3 𝜋 2 , precisamos testar o intervalo que nos resultará em um valor negativo e outro positivo quando aplicado na função. Para o intervalo 4.5   ,   5 obtemos:

𝑡 𝑔 4.5 − 4.5   =   0.13733

𝑡 𝑔 5 − 5   =   − 8.38051

Com isso encontramos um intervalo justo para achar a raiz! Agora é só pôr a mão na massa e calcular!

Passo 3

Com isso, agora devemos realizar as iterações com o método das secantes, considerando 𝑥 0 = 4.5   𝑒   𝑥 1   =   5   . Basta usar a fórmula que já passei no passo 1!

Substituindo ficaremos com:

𝑥 2   =   4.5 𝑡 𝑔 5 − 5 − 5 𝑡 𝑔 4.5 − 4.5 𝑡 𝑔 5 − 5 − 𝑡 𝑔 4.5 − 4.5 ≈ 4.50806

Só precisamos realizar esse tipo de iteração algumas vezes dependendo do erro que queremos. Se você quiser seguir e iterar mais para ter uma maior precisão, os resultados obtidos serão aproximadamente os seguintes:

𝑥 3   ≈   4.5260  

𝑥 4   ≈   4.4956  

𝑥 5   ≈   4.4938  

𝑥 6   ≈   4.4934  

E com isso conseguimos observar que existe uma raiz próxima ao ponto 𝑥   =   4.49   .

Calculando o erro vamos chegar em:

𝑒   =   𝑥 6 − 𝑥 5 𝑥 6   ≈ 8.90195 × 10 − 5

Que é inferior ao erro solicitado pelo exercício. Era só isso, foi moleza né?

Resposta

𝑥   _ ≈   4.4934

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