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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 13a

Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações:

a) 𝑥   =   2.7 l n l n   𝑥  

Passo 1

Salve meu colega! Tudo tranquilo? Neste exercício iremos usar o método das secantes para calcular uma raiz da função dada. Lembre-se que a fórmula é a seguinte:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 1 × 𝑓 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘 × 𝑓 𝑥 𝑘 − 1 𝑓 𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 − 1

Se anima aí e vem comigo seguindo o passo a passo!

Passo 2

Precisamos chutar um intervalo e verificar a existência de raiz no mesmo, lembre-se que para existir raiz precisamos que 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏 < 0 em um intervalo 𝑎 ,   𝑏 :

Chutando o intervalo 0.6 ,   0.9 e substituindo na função, vamos encontrar um valor positivo e um negativo, provando que existe uma raiz entre os dois pontos.

Passo 3

Com isso, agora devemos realizar as iterações com o método das secantes, considerando 𝑥 0   =   0.6   𝑒   𝑥 1   =   0.9   . Basta usar a fórmula que já passei no passo 1!

Substituindo ficaremos com:

𝑥 2 = 0,6 2,7 l n l n   0,9   − 0,9 2,7 l n l n   0,6   2,7 l n l n   0,9   − 2,7 l n l n   0,6  

Resolvendo vamos chegar em:

𝑥 2   =   0.97795  

Só precisamos realizar esse tipo de iteração algumas vezes dependendo do erro que queremos. Se você quiser seguir e iterar mais para ter uma maior precisão, os resultados obtidos serão aproximadamente os seguintes:

𝑥 3 = 0,9 2,7 l n l n   0,97795   − 0,97795 2,7 l n l n   0,9   2,7 l n l n   0,97795   − 2,7 l n l n   0,9  

𝑥 3 = 0.99887  

E com isso conseguimos observar que existe uma raiz no ponto 𝑥 = 1   .

Resposta

𝑥 _ ≈ 1

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Resolva o exercício 23 usando agora a sequência de Sturm.
Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações:b) l o g l o g𝑥− c o s c o s𝑥= 0
Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações:c) 𝑒 − 𝑥 − l o g l o g𝑥= 0
Usando o método iterativo linear determinar a solução de:Próxima a 0.5,0.5 .
O sistema não linear:Possui uma raiz próxima a 0.8,1.2 . Usando o método iterativo linear determine essa raiz com precisão de 10 − 1 .