Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Aplicados e Projetos - Ex. 10
Na engenharia química, reatores do tipo PFR são frequentemente usados para converter reagentes em produtos. Sabe-se que a eficiência de conversão às vezes pode ser melhorada reciclando uma fração do produto como mostrado na Figura 3.19 a seguir:
A taxa de reciclo é definida por:
Supondo que estamos processando um reagente afim de que gerar um reagente , segundo a expressão autocatalitica:
Pode-se encontrar a razão ótima de reciclo satisfaz a equação:
onde É a fração de reagente A que é convertido no produto B. A taxa ótima de reciclo corresponde ao reator de menor tamanho possível para se atingir o nível de conversão desejado. Determine as razões de reciclo necessárias para se minimizar o tamanho do reator, resolvendo a equação (3.35) para as seguintes frações de conversão (), do reagente A no produto B:
Passo 1
E aí galera do Responde Aí, aqui quem fala é a jacyara e hoje vamos resolver mais uma questãozinha de cálculo numérico.
A questão te fornece um bocado de informação, porém, em síntese a questão só te pergunta uma coisa.
Dada essa equação:
Quais são os valores de que satisfaz essa igualdade, sendo que, os valores de são esses aqui:
Essa questãozinha aqui se classifica como uma questão de solução de equação não linear, pois não conseguimos explicitar o como uma função das demais variáveis.
Portanto, precisamos utilizar algum método numérico e o método que vamos utilizar aqui é o método de newton pois, o método de newton se mostra com uma convergência mais acelerada para encontrar a solução dessas equações.
O método de newton possui o seguinte roteiro:
- Primeiro passo: estimativa inicial.
- Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
- Terceiro passo: verificar a convergência.
- Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada
- Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
- Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.
Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse pode gerar passos demasiados.
Precisamos encontrar a estimativa inicial, pessoal a estimativa inicial geralmente é complicado de encontrar, porém nessa questão não. O reator precisa de uma alta conversão, portanto, o líquido deve ficar muito tempo dentro do reator e isso faz com que ele tenha um alto valor de portanto, vamos chutar altos valores de e o método numérico irá realizar os cálculos.
Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.
Passo 2
Primeiramente, vamos encontrar o valor da razão de refluxo com .Porém, antes de tudo, precisamos encontrar o valor da derivada, sendo assim temos que encontrar o valor da seguinte derivada:
Desenvolvendo as derivadas, temos que:
Agora que temos a derivada vamos começar a realizar o método numérico, certinho?
Então vamos lá.
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo: verificar a convergência.
- , logo temos é não é a solução.
- Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada
- Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
Como não encontramos a solução, ainda precisamos realizar o método de Newton novamente.
- Primeiro Passo:
- Segundo Passo:
- Terceiro Passo: critério de convergência
- , portanto encontramos nossa solução aproximada.
Passo 3
Agora precisamos realizar o mesmo passo a passo, com um valor de . Vamos modificar nossa estimativa inicial e chutar um valor igual a e utilizando o mesmo passo a passo anterior temos que:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro passo: verificar a convergência.
- , logo temos é não é a solução.
- Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada
- Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
- Primeiro Passo:
- Segundo Passo:
- Terceiro Passo: critério de convergência
- , portanto encontramos nossa solução aproximada.
Como não encontramos a solução, ainda precisamos realizar o método de Newton novamente.
Passo 4
Todas as alternativas estão seguindo o mesmo passo a passo, o ideal é fazer manual até encontrar a solução.
Porém, para não ficar algo muito extenso, vamos chutar uma estimativa inicial já grande porque o cálculo ocorre com um único passo para uma aproximação de . Portanto, vamos utilizar uma estimativa inicial de para o valor de .
Aplicando o método de newton, temos:
- Estimativa inicial:
- Cálculo da função:
- Critério de Convergência
- , portanto, temos que é uma raiz.
Passo 5
Realizando o mesmo passo a passo para as demais alternativas, temos que quando temos um e quando encontramos um .
Grandinha essa questão né? Mas relaxa, sei que você consegue. E aí curtiu? Responde Ai, Vlwwwwwws
Resposta
Todas as alternativas foram devidamente discutidas nos passos anteriores.