Enunciado
Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Aplicados e Projetos - Ex. 3
Um amplificador eletrônico com acoplamento com três estágios em cascata tem uma resposta a um degrau unitário de tensão dada pela expressão:
onde é uma unidade de tempo normalizada. O tempo de subida de um amplificador é definido como o tempo necessário para sua resposta ir de 10% a 90% de seu valor final. No caso, como é necessário calcular os valores de T para os quais
Chamando de o valor obtido de na primeira equação e o valor de obtido na segunda equação, calcular o tempo de subida.
Passo 1
E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.
A questão ela te fornece uma equação não linear, porque você não consegue isolar por exemplo e a questão pergunta quais os valores de para cada situação que foi informada.
Para resolver esse tipo de questão precisamos utilizar um método iterativo, o método iterativo é um método que possui uma sequência de passos que se repetem, até que a solução seja alcançada com a tolerância fornecida e o método que vamos utilizar é o método de newton por ele precisar apenas de uma única estimativa e ter uma convergência mais acelerada.
Eu detesto decorar, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton de equações não lineares é o seguinte:
- Primeiro passo: estimativa inicial.
- Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
- Terceiro passo: verificar a convergência.
- Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada
- Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
- Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.
Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse pode gerar passos demasiados.
Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.
Passo 2
Primeiramente, precisamos da equação não linear e essas equações nos é informada na nossa questãozinha.
Igualando a expressão a ,temos:
Agora vamos calcular a derivada para utilizar o método de newton, portanto:
Gerando a seguinte igualdade:
Portanto temos que a derivada é dada por:
Agora que temos as funções a derivada da , precisamos aplicar o método de newton em cada equação e encontrar a raiz de cada equação.
Agora vamos utilizar o método de Newton, belezinha? Vamos lá
Passo 3
Vamos procurar a raiz da primeira equação que a raiz de:
E para resolver a questão vamos utilizar o método que foi apresentado no passo 1, vamos chutar uma estimativa inicial , portanto temos que:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro Passo: , portanto não é raiz
- Método de Newton – Cálculo da derivada:
- Método de Newton – incremento da solução:
Como não encontramos a raiz ainda, sendo assim, precisamos aplicar o método de newton até que o valor da função seja menor que a tolerância, portanto:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro Passo: , portanto é a raiz.
Passo 4
Agora vamos procurar a raiz da segunda equação que é a
E para isso vamos utilizar o mesmo método, sendo assim temos que com uma estimativa , temos que:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro Passo: , portanto não é raiz
- Método de Newton – Cálculo da derivada:
- Método de Newton – incremento da solução:
Como não encontramos a raiz ainda, sendo assim, precisamos aplicar o método de newton até que o valor da função seja menor que a tolerância, portanto:
- Primeiro passo:
- Segundo passo:
- Terceiro Passo: , portanto é a raiz.
Portanto, temos que:
E o tempo de aumento é dado por:
Uffa, finalmente terminou. E ai, curtiu? Responde Ai e vlwwwwwwwws