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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 16

Prove que num espaço euclidiano normado:

a) ||x + y||^2 + ||x - y||^2 = 2 (||x||^2 ||y||^2)

b) ||x|| - ||y|| <= ||x - y|| .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide ele pede para provar que num espaço euclidiano normado:

a) ||x + y||^2 + ||x - y||^2 = 2 (||x||^2 ||y||^2)

b) ||x|| - ||y|| <= ||x - y|| .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha para provarmos que num espaço euclidiano normado em que, valendo,

d (x , y) = ||x - y|| -> d (x , y) = sqrt(( x - y , x - y ))

Com isso temos que na letra (a) para,

||x + y||^2 + ||x - y||^2 = 2 (||x||^2 ||y||^2)

Temos,

sqrt((x + y) , ( x + y )) + sqrt((x - y) , ( x - y )) = 2 (||x||^2 ||y||^2)

Ficando,

(x + y)^2 + (x - y)^2 = 2 (||x||^2 ||y||^2)

Já na letra (b) para,

||x|| - ||y|| <= ||x - y||

Podemos ter como definição,

(x - y)^2 < (x - y)^2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) (x + y)^2 + (x - y)^2 = 2 (||x||^2 ||y||^2)

b) (x - y)^2 < (x - y)^2

.

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