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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 27

Dados as seguintes matrizes:

A = 1 2 3 4 ,     B = 1 2 - 1 - 1 0 1 2 1 - 1

Calcule o polinômio característico, seus autovalores e autovetores.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide dados as seguintes matrizes:

A = 1 2 3 4 ,     B = 1 2 - 1 - 1 0 1 2 1 - 1

Calcule o polinômio característico, seus autovalores e autovetores.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera para determinarmos os autovalores e autovetores e os polinômios característicos, temos

a u t o v a l o r e s → P A - λ I = 0

a u t o v e t o r e s → T V = λ ( V )

Polinômio característico → λ n - 1 + x λ n + y λ

Ficando para,

A = 1 2 3 2 → 1 2 3 2 - λ 0 0 λ → 1 - λ 2 3 2 - λ

Ficando,

1 - λ 2 - λ - 6 → 2 - λ - 2 λ + λ 2 → λ 2 - 3 λ - 4

Já o autovetor fica,

1 2 3 4 x y = λ x y

x + 2 y = λ x 3 + 2 y = λ y

Passo 3

Já para,

B = 1 2 - 1 - 1 0 1 2 1 - 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Ficando,

B = 1 - λ 2 - 1 - 1 - λ 1 2 1 - 1 - λ 1 - λ 2 - 1 - λ 2 1

1 - λ - λ - 1 - λ - 1 - λ + 4 - - 2 - 1 - λ + { 1 - - 2 . - λ }

Ficando,

1 - 2 λ → - λ 3 - λ 2 - 3 λ + 2

Logo,

λ - λ 2 - λ - 3 = 0

Logo os valores de λ valem,

λ 1 = 0 ,   λ = - 2 ,   λ 3 = 1

Já para autovetores temos,

1 2 - 1 - 1 0 1 2 1 - 1 x y z = λ x y z

Ficando,

x + 2 y - z = λ x - x + 0 - z = λ y 2 x + y - z = λ z

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

λ 2 - 3 λ - 4 e x + 2 y = λ x 3 + 2 y = λ y

- λ 3 - λ 2 - 3 λ + 2 e x + 2 y - z = λ x - x + 0 - z = λ y 2 x + y - z = λ z

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