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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 25

Usando decomposição L U , inverter a matriz:

A = ([[2,1,0],[1,1,1],[1,0,1]])

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide usando a decomposição L U , inverter a matriz:

A = ([[2,1,0],[1,1,1],[1,0,1]])

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera nessa questão usando a decomposição L U ele pede para inverter a matriz

A = ([[2,1,0],[1,1,1],[1,0,1]])

Temos,

([[2,1,0,1,0,0],[1,1,1,0,1,0],[1,0,1,0,0,1]]) ∼ ([[2,1,0,1,0,0],[(1)/(2),1,1,-,(1)/(2),1,0],[(1)/(2),0,1,-,1,1,1]])

Resolvendo o sistema,

([[2,1,0],[0,1,1],[0,0,1]]) ([[x_11],[x_21],[x_31]]) = ([[1],[-,(1)/(2)],[-,1]]) -> (1 , - (1)/(2) , - 1)

Já para,

([[2,1,0],[0,1,1],[0,0,1]]) ([[x_1 2],[x_2 2],[x_3 2]]) = ([[0],[1],[1]]) -> ( 0,0 , 1 )

E por fim no ultimo termo temos,

([[2,1,0],[0,1,1],[0,0,1]]) ([[x_1 3],[x_2 3],[x_3 3]]) = ([[0],[0],[1]]) -> ((1)/(2) , - 1 , 1)

No final temos A^(- 1) ,

A^(- 1) = ([[1,0,(1)/(2)],[-,(1)/(2),0,-,1],[-,1,1,1]])

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

A^(- 1) = ([[1,0,(1)/(2)],[-,(1)/(2),0,-,1],[-,1,1,1]])

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Mostre que se A é uma matriz simétrica, positiva definida e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D L t onde os elementos diagonais de D são todos positivos.
Seja A ,n×n , decomponível em L U . Sejam A i,i=1 ,2 , .. ., n , os menores principais de ordem i . Mostre que: u i i = ∆ i ∆ i - 1 ,i = 1,2 , … , n , Onde, ∆ i = det ⁡ A i , ∆ n = det ⁡ Ae∆ 0 = 1 .
Considere o sistema: 5 x 1 + 2 x 2 + x 3 = - 12 - x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 20 2 x 1 - 3 x 2 + 10 x 3 = 3 a) Resolva-o usando decomposição L U . b) Calcule o determinante de A , usando a decomposição.
Mostre que se A satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A se decompõe de maneira única no produto L D U , onde LeU são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, ambas com 1 n