Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

Em primeiro lugar, vou parar para analisar o domínio da função. No caso, como o termo dentro da raiz quadrado será sempre positivo nós vemos que não haverão restrições para o domínio (ou seja, ). As assíntotas que estão ligadas com descontinuidades são as verticais. Se não temos descontinuidades, não teremos assíntotas verticais.

Para determinar as assíntotas horizontais devemos jogar o limite de para e para :

Notamos que não existem assíntotas horizontais também.

Para determinar as assíntotas oblíquas devemos seguir a definição, modelando a reta da assíntota para por e a para por :

Para nós temos que , assim:

Para achamos a assíntota oblíqua .

Fazendo o mesmo raciocínio para modelando a reta por :

Para nós temos que , assim:

Para achamos a assíntota oblíqua .

Vamos analisar a derivada primeira, seu sinal e seus pontos nulos.

Pô, esse termo aí tem um denominador que é sempre positivo, correto? Ele está dentro de uma raiz quadrada, então não vai interferir no nosso sinal.

Enfim, o sinal de só depende de . Vemos que é positiva para e negativa para . Concluímos que será crescente para e decrescente para havendo um ponto crítico em , com .

No caso, é um ponto de mínimo, já que a derivada é negativa antes e positiva depois. Agora, esse vai ser um mínimo global, já que a função explode para tanto para quanto para , como vimos no Passo :

A função não possui máximos.

Antes de propriamente fazer o esboço do gráfico devemos fazer a análise da sua derivada segunda, que nos diz informações sobre a concavidade. Vamos calcular a derivada segunda:

Ora, achamos um termo que será sempre positivo, o que nos leva a crer que tem concavidade para cima sempre.

Antes do esboço, uma última informação útil, é uma função par, ou seja, temos que . Resumindo, a função é espelhada em relação ao eixo .

Primeiro vamos ver o domínio, temos dois detalhes com problemas ali, o cara dentro do logaritmo e a raiz quadrada, primeiro esse cara dentro do log precisa ser positivo, ou seja:

Mas como raiz quadrada é algo sempre positivo isso está certinho.

O outro problema é que o cara dentro da raiz deve ser positivo, repara que eu ignoro quando a raiz for por causa do log:

Então qualquer valor de nesse intervalo, o cara dentro da raiz é maior que e o cara dentro do log tbm, então o domínio são os reais:

Para achar os pontos de interseção com os eixos coordenados basta fazer a função quando e achar o e depois fazer e achar o .

Vamos começar fazendo :

E a parada fica por isso mesmo, o ponto que ele corta o eixo é .

Vamos ver agora com :

Usando propriedades de log vamos ter:

O ponto que ele corda o eixo vai ser .

Para olhar o intervalo de crescimento vamos olhar a derivada, vamos derivar a função:

Temos um log meio louco ali no meio, normalmente derivamos só o logaritmo na base , vamos usar propriedades de logaritmo e fazer essa mudança de base:

Vamos ter:

Essa derivada só depende do sinal de , mas no domínio vai ser sempre positivo, lembra que ele precisa ser positivo para a raiz não dar problema? Isso nos diz que:

Em todo o domínio, ou seja, é sempre crescente.

Como a função é sempre crescente ela não vai ter nenhum extremo em todo o domínio.

A primeira pergunta é WTF é assíntota inclinada, fuuuuuuuuu!!!!

Relaxa, vamos primeiro para a assíntota que você conhece, a assíntota horizontal, como eu acho a assíntota horizontal?

Temos que fazer:

Dessa vez não fazemos isso porque o domínio começa no e não “começa” no .

Vamos começar com o limite para .

Logo ele não vai ter assíntotas horizontais.

Vamos entender a assíntota inclinada, isso vai ser uma reta inclinada que a função se aproxima, a questão está em como calcular a reta.

Uma reta inclinada, vai ser assim:

Precisamos achar os coeficientes e da assíntota obliqua, podemos ter dois pares de coeficientes, um vai ser o par de baixo:

Beleza? Não fazemos o pelo mesmo motivo da horizontal, vamos achar o valor de :

Já vimos que a parte de cima vai dar então isso vai dar uma indeterminação , vamos aplicar L’Hôpital:

Já temos a derivada de né? Então vai ficar

Precisaríamos ter , mas uma reta assim não é inclinada, então não vamos ter assíntota oblíqua.

Vamos ver agora a assíntota vertical, aqui o único cara que nos interessa é quando o que está dentro do log for , então vamos pegar o limite quando

Eu coloquei pela direita porque o nosso domínio só tem a parte maior que

Então como o limite vai para temos uma assíntota vertical que vai ser

O esboço do gráfico vai ficar:

Vamos começar vendo se essa função tem assíntotas verticais, beleza? Pra ter assíntota horizontal, tem que ter algum ponto “que dê problema”, ou seja, alguma forma de gerarmos uma indeterminação.

Como nosso tem uma parcela , não vai ser qualquer que eu escolha que vai estar tudo bem! Logo, , um valor que gera indeterminação, é um candidato à assíntota vertical! Então partiu descobrir se ele é mesmo fazendo os limites:

Opa, como os limites são pro infinito, é sim uma assíntota vertical!

Agora, pras horizontais, vamos fazer quando tende aos infinitos. Se a gente receber um número como resposta é porque a função tende a esse valor, mas nunca chega lá, beleza? Ai sim teremos assíntotas. Então, fazemos:

Escrevendo dessa forma a gente pode usar o famoso L’Hospital! Pra , temos:

Pra , temos:

E já que os limites aqui foram ao infinito, não vamos ter assíntotas horizontais, beleza? Partiu agora as próximas assíntotas:

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos , depois . Para a função , o cálculo de vai ficar:

Opa, nem precisamos fazer dois limites diferentes, pra + e - , porque o limite que sobrou vai direto pra !. Beleeeeza, a inclinação da assíntota oblíqua vai ser então:

E pra calcular , fazemos:

Fechamos então a equação oda assíntota oblíqua, que vai ser:

Agora vamos tentar achar pontos de máximo e de mínimo, beleza? Pra isso temos que fazer o clássico deriva e iguala a . Então vamos lá:

Igualando à agora:

Então temos pontos críticos! Vamos checar o sinal da derivada em intervalos que envolvam esses pontos, ok? Mas também não podemos esquecer do ponto , que é um ponto em que nossa primeira derivada não está definida. Intervalos que envolvam esses valores de vão ser:

Pro primeiro intervalo vamos escolher, por exemplo, . Vamos ter:

Pro segundo intervalo vamos escolher, por exemplo, . Vamos ter:

Pro terceiro intervalo vamos escolher, por exemplo, . Vamos ter:

Pro quarto intervalo vamos escolher, por exemplo, . Vamos ter:

Como a função é crescente quando a primeira derivada é positiva e decrescente quando ela é negativa, os intervalos de crescimento e decrescimento vão ser:

Como primeiro cresce e depois decresce, o ponto vai ser então um ponto de máximo local e como decresce e depois cresce, o ponto vai ser então um ponto de mínimo local

Agora vamos juntar todas as informações que temos para esboçar o gráfico. Temos que:

• A função possui uma única assíntota vertical
• A função não possui assíntotas horizontais
• A função possui somente uma assíntota oblíqua
• é um ponto de máximo local
• é um ponto de mínimo local

Juntando isso tudo, esboçamos o gráfico:

Essa questão do jeito que tá, enrola um pouco a cabeça. Nesse passo então, vamos desenrolar esse enunciado e escrever . Saca só:

Eita, então teremos duas funções diferentes pra analisar nesse caso! Vamos com calma que chegamos lá.

Para calcular as assíntotas verticais, primeiro temos que ver o domínio das duas que geramos. Como tempos uma raiz, a única forma de isso dar problema é se:

Sendo assim, tem dois pontos interessantes pra gente checar: e . Vamos calcular os limites nesses pontos, bele?

E veja só: em todas as combinações possíveis (temos duas funções, dois pontos pra calcular e duas direções, esquerda e direita, pra calcular o limite) o limite é . Ou seja, não temos assíntotas verticais!

Pra ver as assíntotas horizontais agora, a gente vai fazer o limite pra mais ou menos infinito e ver se a função tende pra um valor ou se cresce cresce cresce e não para. Show, fazendo todas as combinações possíveis (duas funções e dois limites):

Então nenhuma das duas funções tem assíntotas horizontais também!

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos , depois . Para a função , o cálculo de vai ficar:

Colocando em evidência:

Aplicando o limite:

Agora vamos calcular o valor de . Felizmente só vamos ter pra nos preocuparmos já que também só achamos . Como , calculamos o da seguinte forma:

Multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

Agora que não tem nenhum termo com em cima, vemos que independente de se ou se , todo o denominador tende a números infinitamente grandes e, sendo uma constante, esse limite vai a . Logo:

E a assíntota oblíqua de vai ser:

Agora, para a função , o cálculo de e vai ficar bem parecido, quase igual na verdade! Mas pra não deixarmos de fazer, vamos seguir os mesmos passos. Começando por então, temos:

Aplicando o limite:

Para o cálculo de então vamos ter:

E aplicando o limite, chegamos também à . Por fim, obtemos que a assíntota oblíqua de vai ser: