Esboço De Gráfico

Bom, não tem nada que complique a existência da função, logo o domínio é .

Quando ele pede os interceptos ele deseja saber aonde esse termo cruza os eixos:

Achamos apenas um ponto, que é onde ele cruza os dois eixos de uma vez:

O gráfico não possui simetria, uma vez que não possui qualquer simetria.

Para resolver essa letra devemos levar em conta que os limites da função quando está tendendo para e para descobrir as assíntotas horizontais. Para as verticais, não teremos nenhuma, uma vez que a função é contínua ao longo de todo seu eixo :

Nesse caso aí, o vai a enquanto que ...

Logo, temos apenas uma assíntota, , que é horizontal.

Ele pede intervalos de crescimento e decrescimento. Precisamos, então, olhar para o sinal da derivada primeira:

Bom, se é sempre positivo, como toda exponencial, sabemos que o sinal só depende de . Esse termo é negativo depois de e positivo antes.

Assim, é crescente para e decrescente para .

Os pontos de máximo e de mínimo locais (os famosos pontos críticos) são encontrados quando ou não existe. Nesse caso, sabemos que o ponto onde isso ocorre é . Como a derivada é positiva antes e negativa depois, sabemos que ele é um ponto de máximo local, não havendo ponto de mínimo local.

Concavidade é derivada segunda; vamos derivar e analisar o sinal de :

Pelo resultado, notamos que o sinal só depende de . Logo, temos concavidade para baixo até e para cima daí em diante.

Juntando as informações:

Esboçando, fica assim.

As assíntotas horizontais podem ser encontradas da seguinte forma:

Como ambos limites nos levam a indeterminações do tipo . Por L’Hospital:

Analogamente para o outro limite:

Portanto não existem assíntotas horizontais.

Já para as verticais, podemos observar uma descontinuidade em , logo:

Segue que existe a assíntota vertical:

Os intervalos onde a função é crescente ou decrescente são definidos abaixo:

Portanto, vamos analisar o sinal da derivada:

Como o termo no denominador é um quadrado perfeito, não entra na nossa análise de sinal, por ser sempre positivo. Vamos então analisar o sinal de:

Fatorando:

E estudando o sinal pela nossa tabela:

Portanto segue que os respectivos intervalos são:

Em consequência de nossa análise, descobrimos onde a derivada zera, que são os pontos em que e . Portanto são pontos críticos e devemos analisá-los.

Em , temos que a função passa de decrescente para crescente, portanto é um mínimo.

Em , a função passa de crescente para decrescente, portanto se trata de um máximo.

Como a função cresce arbitrariamente para muito grande, e decresce arbitrariamente para muito pequeno, não existe mínimo nem máximo globais.

Portanto é um mínimo local e é um máximo local.

Avaliando o sinal da derivada segunda podemos ver o comportamento da função no que tange à sua concavidade.

Como temos que a nossa derivada segunda é:

Só precisamos analisar o sinal de , que é simples:

Portanto os intervalos são:

Já os pontos de inflexão não existem, pois não conseguimos fazer a derivada segunda zerar:

E o esboço do gráfico é, portanto:

Para descobrir se a função é contínua no , temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em e outra em :

Beleza, agora vamos ver o limite pela direita:

Pela regra de l’Hôpital, isso aí dá:

Ora, os limites laterais batem, então a função é contínua em .

Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:

Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando :

Vamos fazer agora para :

Como vemos, os limites laterais da definição da derivada não bateram, o que significa que é não derivável em .

Vamos calcular os dois limites pedidos:

O outro limite agora:

Vamos de L’Hôpital:

Vamos derivar a função :

Na região de , temos uma exponencial com um sinal de menos multiplicando um termo que é negativo para todo . Assim, a função será crescente em e decrescente para , com ponto crítico em .

Quando a derivada será positiva quando:

Dessa forma, há um ponto crítico em , com a derivada sendo negativa em e positiva em .

Conclui-se, há apenas dois pontos críticos, um em e outro em .

Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4, a derivada será positiva para todo e negativa para , com o detalhe da derivada ser nula em :

Nossos pontos críticos são e , vamos substituir esses pontos na função de acordo com os intervalos que elas pertencem para ver seus valores. Para , temos que a função é , logo

E para o ponto crítico , temos

Isso quer dizer que dados nossos pontos críticos, e . Portanto

Vamos calcular e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:

Na região de temos uma exponencial com um sinal de menos multiplicando um termo que é negativo para todo . Assim, a função será côncava para cima em e para baixo quando , com ponto de inflexão em .

Quando , o é sempre positivo. A concavidade é para cima em toda essa região

Os únicos pontos em que a muda de sinal são em e em :

Vamos reunir todas as informações para fazer o nosso esboço:

Vamos fazer o esboço:

Encontremos o domínio então. Quais valores pode assumir de forma que não vai dar nenhuma coisa do tipo , ou ? Precisamos garantir que aquele denominador não vai dar zero. Aqui vale a observação de não tem problema o termo da raiz ser negativo, já que ela é cúbica. Portanto:

Segue que:

As assíntotas horizontais saem pelos limites abaixo:

Pondo em evidência pra fora da raiz cúbica:

Mesma coisa com o outro:

Ou seja, não tem assíntotas horizontais.

Já as verticais, vamos pelo limite pra bagunçar esse denominador:

Portanto uma assíntota vertical é . Se considerarmos o ponto , temos a mesma situação:

Assim, temos outra assíntota vertical em .