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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 4

Uma partícula move-se segunda a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , em que t é medido em segundos e s em metros

  1. Encontre a velocidade no instante t
  2. Qual a velocidade depois de 3 s
  3. Quando a partícula está em repouso?
  4. Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
  5. Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos
  6. Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula
  7. Encontre a aceleração no instante t e depois de 3 s
  8. Faça os gráficos das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 8
  9. Quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

f t = t ⋅ e - t 2

Passo 1

Fala aí, galerinha!! 😎

Nesse problema foi dada uma função movimento de uma partícula em relação ao tempo.

f t = t ⋅ e - t 2

Bonitinha, né? 😁

A partir dessa função foi pedido uma serie de informações, então não vamos perder muito tempo.

A questão pede muitas coisas, então antes de cada item vamos ver como resolvemos e logo em seguida resolvemos. Combinado?

Bora lá! 😉

Passo 2

No item a) foi pedido para encontrarmos a função velocidade v t

Sabemos que

v t = f ' t

Portanto, pela regra do produto.

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Para o nosso caso, temos

v t = e - t 2 + t ⋅ e - t 2 ⋅ - 1 2

v t = e - t 2 - t 2 ⋅ e - t 2

v t = e - t 2 ⋅ 1 - t 2

No item b) queremos obter a velocidade em t = 3 s , ou seja v ( 3 )

v 3 = e - 3 2 ⋅ 1 - 3 2 = e - 3 2 ⋅ - 1 2

v 3 = - 1 2 e 3 2 ≈ - 0,1116 m / s

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

No item c) a partícula está em repouso quando

v t = 0 = e - t 2 ⋅ 1 - t 2

Logo, usando o princípio da multiplicação por zero, temos

1 - t 2 = 0

t = 2 s

Note que a exponencial de um número nunca será zero, logo, e - t 2 forma uma assíntota horizontal em y = 0

Show?

Passo 4

No item d) a partícula se move no sentido positivo quando v t > 0

e - t 2 ⋅ 1 - t 2 > 0

Para tal, devemos observar que uma função exponencial nunca retorna valores negativos, portanto

e - t 2 > 0   ,   ∀   t

Então, devemos ter que

1 - t 2 > 0

t < 2

Legal, não é? 😎

Passo 5

No item e) sabemos que v t = 0 no instante t = 2 s . Então, calcularemos os deslocamentos nos intervalos 0 ≤ t < 2   e   2 < t < 8

f 2 - f 0 = 2 e - 0 = 2 e ≈ 0,7358 m

f 8 - f 2 = 8 e 4 - 2 e = 8 - 2 e 3 e 4 ≈ 0,5892 m

Então a distância total s

s = 0,7358 + 0,5892

s = 1,325 m

Bora continuando...

Passo 6

Em f) esboçando o gráfico f t = s no tipo da imagem 2, ficamos com

Já em g) queremos obter a função aceleração...

Sabemos que

a t = v ' t

Logo...

a t = d d t e - t 2 - t 2 ⋅ e - t 2 = - 1 2 ⋅ e - t 2 - 1 2 ⋅ e - t 2 - t 2 ⋅ e - t 2 ⋅ - 1 2

a t = e - t 2 ⋅ - 1 2 - 1 2 + t 4 = e - t 2 ⋅ t 4 - 1

a 3 = e - 3 2 ⋅ 3 4 - 1 = 1 e 3 2 ⋅ - 1 4 = - 1 4 ⋅ e 3 2

a 3 ≈ - 0,0558 m / s 2

Interessante, né? 😉

Passo 7

No item h) fazendo os gráficos, onde f t → v e r m e l h o ,     v t → p r e t o   e   a t → a z u l

E por fim, para o item i) a partícula está acelerando quando a   e v possuem o mesmo sinal. Logo, ela está acelerando no intervalo

2 < t < 4

A partícula está freando quando a   e v possuem sinais opostos. Logo, ela está freando nos intervalos

0 ≤ t < 2   e   4 < t < 8

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a) v t = e - t 2 ⋅ 1 - t 2

b) v 3 ≈ - 0,1116 m / s

c) t = 2 s

d) t < 2

e) s = 1,325 m

f)

g) a 3 ≈ - 0,0558 m / s 2

h)

i) Acelerando: 2 < t < 4

Freando: 0 ≤ t < 2   e   4 < t < 8

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