Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações
Teoria
Indeterminação e
Pois bem, agora que já vimos o que é L’Hôpital e como usá-lo, vamos ver como resolvê-lo para outras indeterminações.
Vamos dar uma olhada nesse limite aí embaixo:
Que, se você não mexer fica:
Para aplicarmos L’Hôpital, devemos chegar às indeterminações padrões, para isso, basta manipular um pouco as coisas (MUAHAHA). É verdade que:
Certo, mas...
Bem, se a gente substitui isso no limite:
Pronto! Então se aparecer uma indeterminação , é só pegar a função que você achar melhor, inverter e dividir a função que sobrou no limite por ela.
Indeterminação na subtração
Veja esse limite malandro aí embaixo:
Quando :
Para escapar dessa ilesos, temos que fazer a mesma coisa que fizemos para a indeterminação : tentar transformar isso num quociente só:
Viu?! Temos a indeterminação de L’Hôpital aí duas vezes e matamos a questão:
É só isso, quando você se deparar com uma indeterminação dessa, só colocar tudo no mesmo coeficiente e ser feliz!
Indeterminação e
Dê uma olhada nos limites abaixo:
Precisamos tentar transformar isso tudo nas indeterminações , ou . Para isso, pegamos o primeiro limite e usamos uma propriedade das funções inversas aplicadas às funções exponencial e logarítmica:
Portanto,
Algebricamente, nada muda. Agora, como a exponencial é contínua, pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para o expoente:
Sabendo que:
Temos então que:
Onde...
Olhe a indeterminação que a gente quer de novo aí!
Pronto, agora só aplicar L’Hôspital como antes!
Logo:
Os outros dois limites são resolvidos da mesma maneira! :)
Indeterminação na subtração
Indeterminação 1 ∞ e 0 0
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
CEFET - Cálculo 1 - P2 Roberto Sá 2013.1 – 1
Calcule o seguinte limite usando L’Hospital:
Passo 1
Primeiramente, temos que mostrar que esse limite leva a uma indeterminação:
Uhul indeterminação!
Passo 2
Para transformar essa indeterminação em uma das indeterminações de L’Hôpital, precisamos jogar algum fator para baixo. O fator mais simples é a exponencial. Basta lembrar que
Repare que não mudamos nada, houve somente algebrismo.
Agora que já temos uma indeterminação de L’Hôpital (), podemos aplicá-lo sem medo.
Passo 3
Aplicando a regra:
Indeterminação de novo? L’Hôpital novamente!
De novo?! Vamos lá, mais uma vez:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFRJ - Cálculo 1 - P1 2009.2 - 1a.i
Calcule:
Passo 1
Como sempre, mostramos a indeterminação. Indo pela regra da soma/subtração de limites, chegamos na seguinte indeterminação:
Temos que contornar isso e chegar a uma indeterminação de L’Hôpital.
As nossas armas sempre envolvem produtos ou quocientes, portanto temos que forçar essa situação. Qual o jeito de fazer isso? Só tem dois, ou multiplicando por algo em cima e em baixo (denominador/divisor) ou pondo algo em evidência.
Por o em evidência parece ser interessante e prático:
Passo 2
Para tal, deixamos um termo em evidência:
Avaliando o limite da direita:
Por L’Hôpital:
Novamente:
Portanto...
E:
Isso também acontece porque a função cresce muito mais rapidamente que qualquer polinômio quando . Então menos qualquer polinômio vai para infinito quando x tende a infinito.
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ - Cálculo 1 - PF 2015.1 - 1 a
Calcule
Passo 1
Antes de qualquer coisa, o que é esse () em ? Isso significa que a questão quer o limite lateral pela direita e pela esquerda. Antes de calcularmos, devemos simplificar ao máximo o limite que está aí.
Testando a indeterminação, vemos que há uma indeterminação produto no denominador:
Pode isso, Arnaldo? Pode não tem problema nenhum (Arnaldo que me disse).
Passo 2
Vamos arranjar tudo para ficar com uma indeterminação de L’Hôpital, para isso jogamos um fator para cima:
Agora, podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando a regra:
Derivando o numerador:
Para derivar o denominador, usamos a regra da cadeia:
Substituindo tudo like a boss:
Sendo que:
Putz, teremos que aplicar L’Hôpital novamente, vamos lá:
Agora sim, separamos o limite em limites laterais:
Resposta
Exercício Resolvido #4
PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2010.2 - 1 b
Calcule:
Passo 1
Mostramos a indeterminação primeiro:
Uma vez que:
Passo 2
Precisamos mexer na função para chegar a uma das indeterminações de L’Hôpital. Para isso, jogamos um fator para baixo:
Agora podemos aplicar a regra.
Passo 3
Vamos mexer na função para deixar ela com cara de quociente para podermos aplicar nosso L’Hôpital nela:
Quando as derivadas:
Substituindo tudo:
Esse limite aí nem precisa de L’Hôpital para resolver, é só isolar o termo de maior grau e partir para o abraço:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Calcule
Passo 1
Temos uma indeterminação de produto quando substituímos o limite, acompanha:
Bom lembrar que é descontínuo em , por isso o limite é lateral ali.
Passo 2
Vamos transformar essa indeterminação em um quociente:
Agora podemos aplicar L’Hospital!
Passo 3
Fazendo L’Hospital:
Podemos substituir o cosseno já:
Passo 4
Novamente, temos uma indeterminação de quociente:
Vamos de L’Hospital:
Resolvido!
Resposta
Exercício Resolvido #6
PUC-RJ - Cálculo B - P2 2013.2 - 2a
Calcule o limite:
Passo 1
Novamente, vamos mostrar a indeterminação:
E chegamos numa já conhecida indeterminação. Nossa única alternativa é manipular algebricamente a função, de forma que possamos transformar a indeterminação num tipo ou de forma que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro aplicamos a exponencial e o logaritmo natural:
Agora aplicamos as propriedades do logaritmo:
Substituímos no limite:
Passo 3
Como a função exponencial é contínua, jogamos o limite para dentro da exponencial:
Calculando primeiro o limite:
Agora podemos aplicar L’Hôpital. É importante não esquecer que esse cara é o expoente de então o que acharmos para esse limite temos que colocar como expoente de .
Passo 4
Vamos a esse limite,
Para a derivada do numerador, usamos a regra da cadeia:
Então o limite, substituindo:
Assim:
Resposta
Exercício Resolvido #7
CEFET - Cálculo 1 - P3 Romulo (2) 2014.2 - 1_a
Utilize a regra de L’Hôpital para calcular os limites indicados abaixo:
Passo 1
Vamos lá mostrar a indeterminação:
Temos indeterminação na potência, vamos transformar isso numas das indeterminações de L’Hôpital para poder aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro aplicamos a exponencial e o logaritmo natural:
Agora aplicamos as propriedades do logaritmo:
Substituímos no limite:
Passo 3
Como a função exponencial é contínua, jogamos o limite para dentro da exponencial:
Olhando para aquele limite lá dentro da exponencial:
Esse limite não está perfeitinho para aplicar L’Hôpital. Vamos aplicar o que a gente aprendeu anteriormente a jogar uma das funções para baixo:
Agora podemos aplicar L’Hôpital sem problemas.
Passo 4
Para o numerador usamos a regra da cadeia:
Para o denominador temos a derivada fundamental:
Substituindo tudo sem dó:
Passo 5
É, essa está pedindo L’Hôpital de novo. Repetimos então:
Agora basta voltar no limite inicial, onde analisamos o expoente:
UFA!
Resposta
Exercício Resolvido #8
UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2015 Noturno Sexta - 2 c
Calcule:
Passo 1
Como em todos os exemplos até agora, primeiro vamos mostrar a presença da indeterminação:
Essa é uma indeterminação que dá para transformar em uma das indeterminações de L’Hôpital ( e ), mas para isso, precisamos de um pouco de cara-de-pau em algebrísmo:
Passo 2
Primeiro aplicamos a exponencial e o logaritmo natural:
Agora aplicamos as propriedades do logaritmo:
Substituímos no limite:
Passo 3
Como a função exponencial é contínua, jogamos o limite para dentro da exponencial:
Olhando para aquele limite lá dentro da exponencial:
Para chegar a indeterminação de L’Hôpital, precisamos jogar uma das funções para baixo:
Agora podemos aplicar L’Hôpital
Para o numerador, usamos a regra da cadeia:
Para o denominador:
Substituindo como pilha em controle remoto (apertar o botão fortemente não funciona):
Antes de sair tentando aplicar L’Hôpital de novo, veja que:
Sabendo que:
Então...
Sim!
Não pode esquecer que o limite estava como expoente (não vai dar esse mole não prova, hein?!):