Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0
Teoria
Olha esse “cara”:
Ele cai numa indeterminação. Dá uma olhada:
Nenhum método que vimos tira a indeterminação! E agora? Quem poderá nos defender?
A REGRA DE L’HOSPITAL
Essa regrinha veio para salvar a nossa vida nesse e em diversos casos.
Para aplicar L’Hospital, basta derivar a função no numerador e a função no denominador.
Derivar numerador e derivar denominador, SEPARADO! Nada de aplicar a REGRA DO QUOCIENTE, ok????
Nosso limite vai ficar:
Ok, mas posso aplicar L’Hospital em qualquer limite? NÃÃÃÃÃO!
Para aplicar L’Hospital, é necessário haver uma situação como a do limite que a gente acabou de ver: onde aparece indeterminação “” ou, então, “”.
Você pode usar quantas vezes for necessário o L’Hospital:
- Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
- Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
- Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
- Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
Deu para entender? Haha
Exercícios agora!
A REGRA DE L’HOSPITAL
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
CEFET - Cálculo 1 - P3 Romulo (2) 2014.2 - 1b
Utilize a regra de L’Hôpital para calcular os limites indicados abaixo:
Passo 1
O primeiro passo, quando queremos aplicar a regra de L’Hôpital, é verificar a existência de uma indeterminação, como ou :
Logo, há uma das indeterminações. Então podemos aplicar L’Hôpital sem medo.
Passo 2
Aplicando L’Hôpital, vamos derivar o numerador e o denominador
NÃO É PARA USAR A REGRA DO QUOCIENTE MEU FILHO!!!
Resposta
Exercício Resolvido #2
UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2015 Vespertino Quinta - 2 a
Calcule:
Passo 1
Está sabendo, né? Antes de tudo temos que mostrar a indeterminação no limite e lembre-se: nunca use o sinal de igualdade, apenas setas ou aspas:
Podemos aplicar L’Hôpital sem temer a infelicidade.
Passo 2
Aplicando L’Hospital, vamos derivar em cima e embaixo no quociente:
Sendo:
Substituindo tudo
Vamos inverter essas frações e manipular esse cara
Resposta
Exercício Resolvido #3
PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2015.1 - 1 c
Calcule:
Passo 1
Vamos verificar se a senhora indeterminação está lá:
Então podemos aplicar o titio L’Hôpital.
Passo 2
Para derivar o numerador, usamos a regra do produto:
Para o denominador, usamos a regra da cadeia:
Substituindo tudo:
Invertendo
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.
Passo 1
Primeiramente, substituímos o valor de para avaliar se há ou não indeterminação.
Dado que temos uma indeterminação do tipo , podemos partir para utilizar L’Hôpital.
Passo 2
Aplicando a regra de L’Hospital:
Usando a regra da cadeia:
Para o denominador:
Então o nosso limite vai dar:
Temos a presença da indeterminação novamente, então temos que aplicar L’Hôpital de novo.
Passo 3
Vamos ter então que:
Derivando o numerador:
E o denominador:
Então vamos ter:
Passo 4
O detalhe é que
Então os limites laterais não batem, por causa do seno temos que:
Então o limite lá do enunciado não existe.
Resposta
O limite não existe.
Exercício Resolvido #5
Calcule o seguinte limite :
Passo 1
Antes de mais nada, vamos substituir no limite e ver no que dá:
Caímos numa indeterminação , então temos que dar um jeito nisso aí.
Passo 2
Com uma indeterminação dessas, o primeiro reflexo é tentar aplicar l’Hôpital, né? Então vamos tentar:
Caímos de novo numa indeterminação , então vamos de l’Hôpital de novo!
Passo 3
Mas repara que no denominador apareceu o produto de um seno e um cosseno, então na hora de derivar vamos ter que usar a regra do produto e só vai complicar o limite.
Aqui a sacada é a seguinte:
Essa é uma identidade trigonométrica bastante importante!
Assim o nosso limite vai ser:
Passo 4
Agora sim vamos aplicar a regra de l’Hôpital, aí vai ficar:
Pronto, aí está o valor do limite! :)
Resposta
Exercício Resolvido #6
PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2015.1 - 1 b
Determine o valor de de tal forma que
Passo 1
Como todas as vezes, precisamos mostrar que há uma indeterminação:
Passo 2
Agora podemos aplicar L’Hôpital sem dó:
Para o numerador, usamos a regra da cadeia:
Para o denominador usamos a regra da cadeia também:
Substituindo os achados:
Para esse limite temos que:
Dessa forma, pelo enunciado esse limite tem que ser igual a , então:
significa “portanto” ;-)