Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 65
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas.
Passo 1
Fala aí, pessoal! 😎
Bom, galera, nesse exercício queremos mostrar que as curvas apresentadas são ortogonais e esboçar graficamente essas curvas.
Para isso, iremos utilizar a derivação implícita e comparar o coeficiente angular das curvas e suas retas tangentes.
Caso o coeficiente angular de uma reta tangente à curva for a recíproca negativa do coeficiente da outra curva, as trajetórias são ortogonais uma em relação a outra.
Veja só! 😁
Passo 2
Vamos utilizar a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente a curva
Agora, vamos isolar , que é a inclinação da reta tangente a curva que derivamos
Em um ponto arbitrário , a inclinação da reta tangente é
Passo 3
A curva possui inclinação
Da origem até um ponto arbitrário , pois podemos encontrar a inclinação dessa reta utilizando a fórmula
Como é a recíproca negativa de , ou seja, é o correspondente em sentido oposto de , então todas as curvas de uma família é ortogonal a família de curvas da outra família.
E aí! O que achou? Responde Aí! 😬
Resposta
Como é a recíproca negativa de , ou seja, é o correspondente em sentido oposto de , então todas as curvas de uma família são ortogonais a família de curvas da outra
família. Graficamente
