Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 76
Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse que passem pelo ponto .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar as equações de ambas as retas tangentes para a elipse que passem pelo ponto .
Para isso, vamos usar a equação da reta tangente:
Onde e é a inclinação da reta tangente à elipse, encontrada através da derivada implícita da nossa equação.
Vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, vamos derivar a equação da elipse para encontrar :
Isolando , temos:
Vamos considerar como um ponto que passa pela elipse. Então, nossa derivada fica:
E substituindo na equação , vamos ter:
Passo 3
Podemos encontrar a equação da reta utilizando a seguinte fórmula
Onde . Então, temos:
Assim, usando a última equação do passo , junto com essa, temos o seguinte sistema:
Resolvendo o sistema, encontramos a seguinte relação
E
Ou
Passo 4
Dessa forma, podemos encontrar as equações com base nos pontos:
Assim, para e , substituindo na inclinação da reta , temos que:
E para e , vamos ter:
Passo 5
Substituindo na equação da reta tangente ao ponto , temos:
E substituindo na equação da reta, vamos ter:
E encontramos nossas duas equações.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
E