Teoria

Vamos imaginar que temos essa reta y 1 :

y 1 = 3 x + 1

Quero a equação de outra reta y 2 que é paralela a essa e que passa pelo ponto ( 2,1 ) .

Como a gente determina a equação dessa outra reta?

Sabemos que ela passa pelo ponto (2,1), então:

x 0 , y 0 = ( 2,1 )

Logo, podemos substituir esses valores na equação da reta:

y 2 - y 0 = m x - x 0 ⟹ y 2 - 1 = m x - 2 ⟹ y 2 = m x - 2 m + 1

Falta encontrar m . Aí, lembramos que retas paralelas nunca se encontram, ou seja, é necessário que as retas tenham o mesmo coeficiente angular, a mesma inclinação.

A inclinação é a derivada lembra?

y 1 = 3 x + 1 ⟹ y 1 ' = m = 3 ;    

y 2 = m x - 2 m + 1   ⟹ y 2 = 3 x - 5

Ok, mas e se fossem retas normais (retas perpendiculares)? Pensando na mesma reta do exemplo anterior, y 1 = 3 x + 1 , qual que seria a reta y 2 normal a essa no ponto 1,4 ?

Assim como na reta tangente, a reta normal passa pelo ponto em questão, então:

y 2 - y 0 = m x - x 0 ⟹ y 2 - 4 = m x - 1 ⟹ y 2 = m x - m + 4

Novamente falta m . Para retas normais, o produto dos coeficientes angulares é igual à - 1 .

Então:

y 1 ' ⋅ y 2 ' = - 1   ⟹ 3 ⋅ m = - 1 ⟹ m = - 1 3

Agora já temos tudo que nós queríamos:

y 2 = m x - m + 4 ⟹ y 2 = - 1 3 x +   1 3 + 4

⟹ y 2 = 1 3 ( 13 - x )  

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