Retas Paralelas e Perpendiculares
Teoria
Vamos imaginar que temos essa reta :
Quero a equação de outra reta que é paralela a essa e que passa pelo ponto .
Como a gente determina a equação dessa outra reta?
Sabemos que ela passa pelo ponto (2,1), então:
Logo, podemos substituir esses valores na equação da reta:
Falta encontrar . Aí, lembramos que retas paralelas nunca se encontram, ou seja, é necessário que as retas tenham o mesmo coeficiente angular, a mesma inclinação.
A inclinação é a derivada lembra?
Ok, mas e se fossem retas normais (retas perpendiculares)? Pensando na mesma reta do exemplo anterior, , qual que seria a reta normal a essa no ponto ?
Assim como na reta tangente, a reta normal passa pelo ponto em questão, então:
Novamente falta . Para retas normais, o produto dos coeficientes angulares é igual à .
Então:
Agora já temos tudo que nós queríamos:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2014.2 – 4
Considere a função definida pelo gráfico abaixo, a reta tangente ao gráfico da em e a reta tangente ao gráfico em .
Sabendo , e a reta é paralela à reta , determine:
- A equação da reta
Passo 1
A reta é tangente à função no ponto . Se é tangente seguirá a equação geral da reta tangente:
Como o ponto de tangência é :
O valor de foi dado no enunciado, então podemos substituir também:
Passo 2
Falta só o valor do coeficiente angular, .
Agora vai entrar a ideia das retas paralelas. O enunciado disse que as retas e são paralelas, ou seja, possuem o mesmo coeficiente angular.
O coeficiente angular da reta é que foi dado no enunciado. Dessa forma:
Pronto, já temos tudo que precisamos!
Para ficar bonitinho:
Passo 3
Já vimos ali no passo que a derivada vai ser
Passo 4
Para achar o valor de vamos olhar a reta tangente que passa por , a reta .
Conhecemos um ponto que passa por essa reta, é aquele na parte de baixo, onde a reta corta o eixo , . A equação da reta tangente vai ser:
Passo 5
Vamos agora trocar o valor de e por aquele ponto que pertente a reta:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Quantas retas tangentes ao gráfico de são paralelas à reta ?
Passo 1
Para que duas ou mais retas sejam paralelas é necessário que todas possuam o mesmo coeficiente angular.
Passo 2
Chamando o da função cúbica de e o da reta de . Nesse caso, os coeficientes angulares das retas serão, derivando:
E:
Assim:
Ou seja:
Passo 3
Como falamos no passo 1, as retas tangentes à reta deverão ter os coeficientes angulares iguais a . Logo:
Dividindo todos os termos por , teremos:
Logo, nos pontos e , as retas tangentes serão paralelas à reta .
Portanto, duas retas tangentes ao gráfico de são paralelas à reta .
Resposta
Duas retas tangentes ao gráfico de são paralelas à reta .
Exercício Resolvido #3
George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 167-41.
Calcule a equação da reta tangente à curva no ponto .
A partir da reta tangente, encontre as equações de mais duas retas:
- Reta paralela
- Reta perpendicular
Ambas passando pelo ponto .
Passo 1
Primeiro começamos calculando a reta tangente a função . A equação geral da reta tangente é:
Ela passa pelo ponto . Então:
Substituindo:
Passo 2
Para calcular , basta derivar :
No ponto :
Pronto, já temos tudo que precisamos:
Deixando bonitinho:
Passo 3
Acabou? Não! HAHAHA
Olha lá no enunciado de novo! Ele não quer só a reta tangente à curva, mas a paralela e a normal a essa reta que passam por um outro ponto! Esse outro ponto será o .
Sabemos que 2 retas paralelas entre si apresentam o mesmo coeficiente angular, certo?
Entãããoooo....A equação da reta paralela será:
Onde , e . Logo, teremos:
Temos que calcular também a equação da reta normal. Ela vai seguir a equação geral da reta:
Ela passa pelo mesmo ponto da reta paralela . Looogooo:
Passo 4
Vamos considerar o da reta paralela que calculamos como e da reta normal como , só para diferenciá-los. Assim vai ficar:
Precisamos achar o .
Os coeficientes angulares da reta paralela e normal seguirão a equação:
O coeficiente angular de , derivando, vai ser:
Derivando também:
Pronto, podemos relacionar os dois:
Já temos tudo que queríamos:
Para ficar bonitinho também:
Resposta
Exercício Resolvido #4
George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 210-70. MODIFICADO
Encontrem quantas retas são normais à curva e paralelas à reta .
Passo 1
Aqui ele quer saber quantas retas normais são paralelas a reta dada. Então precisamos trabalhar com o coeficiente angular da reta normal!
Passo 2
Não precisamos encontrar as equações das retas normais, só precisamos determinar quantas são.
Para diferenciar, vamos considerar da primeira equação como e o da segunda como .
Se o coeficiente angular das retas normais é , então ele estará relacionado da seguinte maneira:
Passo 3
Se acharmos achamos . Primeiro vamos isolar :Agora vamos derivar pela regra do quociente:
Assim:
Passo 4
Agora precisamos relacionar com as retas paralelas.
As retas paralelas a terão o mesmo coeficiente angular dessa, então, derivando:
As retas normais a terão coeficiente angular e as retas paralelas a terão coeficientes angulares .
Passo 5
A questão quer saber as retas normais a são paralelas a então:
Substituindo:
pode valer:
Ou:
Existem duas soluções para retas normais a e paralelas a . Então há duas retas normais à curva que são paralelas à reta .
Resposta
Duas