Teorema De Rolle e Teorema Do Valor Médio

Produzido por Arthur Melo de Almeida
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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio. Nessa ordem, porque o segundo pode ser visto como uma aplicação do primeiro, beleza?

Vem comigo!

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O que é o Teorema de Rolle?

O Teorema de Rolle fornece uma condição suficiente para que exista pelo menos um ponto crítico em um intervalo . Vamos ver por quê?

Esse teorema nos diz o seguinte:

Seja uma função contínua no intervalo fechado , não constante e diferenciável no intervalo aberto . Se , então existe um ponto crítico tal que .

Muito confuso esse tanto de palavra complicada que apareceu aí? Deixa eu desenhar pra ficar mais claro.

Imagine que seja uma função com esse gráfico aqui:

Gráfico de uma função com
Gráfico de uma função com

Ela é contínua e não constante, concorda? Além disso, repara como os pontos com e têm o mesmo correspondente no eixo .

Para que isso ocorra, se em algum momento entre e o gráfico subiu, ele vai ter que descer, ou vice-versa!

Basicamente, é isso aí que o Teorema de Rolle tá falando, só que em termos mais matemáticos 😅

Demonstração do Teorema de Rolle

Pensa aqui comigo: se é diferenciável em , quer dizer que existe a derivada dessa função nesse intervalo. Até aí tranquilo?

Tá, agora, se é contínua em , existe pelo menos um ponto de máximo e um de mínimo nesse intervalo.

Suponha o ponto de máximo ou de mínimo. Como ele está dentro do intervalo em que é diferenciável e é um ponto crítico, conclui-se que , porque a derivada igual a zero fornece o ponto crítico da função. Se existe um ponto de máximo ou mínimo, necessariamente existe um ponto crítico da função. 🙂

Demonstração do Teorema de Rolle.
Demonstração do Teorema de Rolle.

Teorema do Valor Médio

Lembra que falei que esse aqui é bem parecido com o anterior?

O Teorema do Valor Médio segue as mesmas condições do Teorema de Rolle, a diferença é que agora não tem mais a restrição de que e tem que ser iguais. Esse teorema aqui vai dizer o seguinte:

Seja uma função contínua no intervalo fechado , não constante e diferenciável no intervalo aberto . Existe um número , tal que:

Nossa, mas que que isso aí tem a ver com o outro teorema lá?

Te mostro agora! Olha só, vamos pegar aquele gráfico lá de cima e incliná-lo um pouquinho, assim:

Semelhança entre Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio.
Semelhança entre Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio.

, que era horizontal, passa a ter o valor da tangente daquele ângulo de inclinação que surgiu ali.

Demonstração do Teorema do Valor Médio.
Demonstração do Teorema do Valor Médio.

Então, a gente pode escrever o seguinte:

Essa fórmula aí pode ser interpretada fisicamente da seguinte forma: o lado direito da equação é a variação média de em e é a variação instantânea. O Teorema do Valor Médio diz que em algum ponto interior a , a variação instantânea deve ser igual à variação média de .

Ah, olha só que interessante! Se :

Que é o próprio Teorema de Rolle!

Bora finalizar com um exemplo?

Exemplo: Mostre que tem um ponto crítico no intervalo usando o Teorema de Rolle.

Beleza, pra começar, vamos ver se podemos usar o Teorema aqui, né?

Primeiro, essa função é contínua?

Sim! Como ela é uma função polinomial, é contínua para qualquer valor de .

Segundo, ela é derivável no intervalo?

Sim! Novamente, toda função polinomial é derivável.

Ok, então vamos verificar se , com .

Condição satisfeita!

Quer dizer que existe um valor tal que , e esse aí vai ser o ponto crítico pedido.

Quem é ?

Só derivar aquela funçãozinha clássica dada pelo enunciado.

Aí é só substituir nessa função e igualar a zero!

Dá só uma olhada no gráfico dessa função:

Gráfico de
Gráfico de

O ponto crítico no intervalo é exatamente o que calculamos!

Teorema do Valor Médio

Exemplo: Mostre que tem um ponto crítico no intervalo usando o Teorema de Rolle.

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