Teorema De Rolle e Teorema Do Valor Médio
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Fala aí! Hoje vamos aprender sobre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio. Nessa ordem, porque o segundo pode ser visto como uma aplicação do primeiro, beleza?
Vem comigo!
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O que é o Teorema de Rolle?
O Teorema de Rolle fornece uma condição suficiente para que exista pelo menos um ponto crítico em um intervalo
Esse teorema nos diz o seguinte:
Seja
Muito confuso esse tanto de palavra complicada que apareceu aí? Deixa eu desenhar pra ficar mais claro.
Imagine que

Ela é contínua e não constante, concorda? Além disso, repara como os pontos com
Para que isso ocorra, se em algum momento entre
Basicamente, é isso aí que o Teorema de Rolle tá falando, só que em termos mais matemáticos 😅
Demonstração do Teorema de Rolle
Pensa aqui comigo: se
Tá, agora, se
Suponha

Teorema do Valor Médio
Lembra que falei que esse aqui é bem parecido com o anterior?
O Teorema do Valor Médio segue as mesmas condições do Teorema de Rolle, a diferença é que agora não tem mais a restrição de que
Seja
Nossa, mas que que isso aí tem a ver com o outro teorema lá?
Te mostro agora! Olha só, vamos pegar aquele gráfico lá de cima e incliná-lo um pouquinho, assim:


Então, a gente pode escrever o seguinte:
Essa fórmula aí pode ser interpretada fisicamente da seguinte forma: o lado direito da equação é a variação média de
Ah, olha só que interessante! Se
Que é o próprio Teorema de Rolle!
Bora finalizar com um exemplo?
Exemplo: Mostre que tem um ponto crítico no intervalo usando o Teorema de Rolle.
Beleza, pra começar, vamos ver se podemos usar o Teorema aqui, né?
Primeiro, essa função é contínua?
Sim! Como ela é uma função polinomial, é contínua para qualquer valor de
Segundo, ela é derivável no intervalo?
Sim! Novamente, toda função polinomial é derivável.
Ok, então vamos verificar se
Condição satisfeita!
Quer dizer que existe um valor
Quem é
Só derivar aquela funçãozinha clássica dada pelo enunciado.
Aí é só substituir
Dá só uma olhada no gráfico dessa função:

O ponto crítico no intervalo é exatamente o que calculamos!