Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 35
Demonstre a identidade
Passo 1
Eaeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para demonstrar a seguinte identidade:
Para isso, devemos “transformar” essa equação em uma função.
Com isso, podemos utilizar os artifícios de derivação para podermos provar a igualdade!!
A ideia é que se a derivada for igual a zero, nossa identidade será verdadeira.
Não entendeu né? Então vamos devagarinho que vai dar certo 😉
Passo 2
Primeiro vamos passar todo mundo para um lado só:
Com isso, podemos definir a seguinte função :
Repara que domínio de é .
Passo 3
Agora vamos nos preocupar em derivar essa função.
Essa função é formada por três termos, e teremos que derivar cada um deles.
Assim:
Vamos olhar para cada um deles individualmente.
Passo 4
Começando com o primeiro, temos:
Repara que essa função é formada por uma função dentro da outra. Assim, podemos entendê-la como:
Onde chamamos de
Perceba que essa é uma daquelas derivadas trigonométricas já tabeladas. Assim, teremos que usar a regra da cadeia e podemos olhar para ela como sendo
Como precisaremos de e ele é formado pela divisão entre duas outras funções, também teremos que usar a regra do quociente. Assim, nossa derivada será:
Agora vamos simplificar essa derivada para facilitar nossos cálculos.
Podemos reescrever resolvendo a parte de cima:
Que se torna:
E fazendo o mmc na raiz que está no denominador, ficamos com:
E resolvendo os produtos notáveis, quadrado da soma e quadrado da diferença que estão na raiz, ficamos com:
Que se torna:
E tirando da raiz, ficamos com:
E simplificando tudo teremos:
Perfeito. Vamos agora derivar o segundo termo.
Passo 5
Agora faremos:
E novamente temos uma derivada tabelada
Onde chamamos de
Assim, teremos que usar a regra da cadeia e podemos olhar para ela como sendo
E termos:
E resolvendo, ficamos com:
E simplificando teremos:
Prontinho. Vamos para a derivada do último termos.
Passo 6
E teremos que fazer:
Mas se lembre que é uma constante. Assim sua derivada será:
Show, agora vamos juntar tudo que encontramos.
Passo 7
Olhando para cada um dos termos
Que nos deu:
Veja que a derivada resultou em zero!!
Isso significa que está provado aquela nossa igualdade!!!
Caso fosse diferente de zero, então significaria que:
Resposta
Demonstração