Taxa de Crescimento e Decrescimento
Teoria
Fala aí! Vamos aprender um pouco sobre taxa de crescimento e decrescimento e aplicações da mesma?
PARTIU !
Dá uma olhada no gráfico dessa função aqui:
Olhando o gráfico a gente consegue ver que tem intervalos em que a função tem uma taxa de crescimento e outros em que a função tem uma taxa de decrescimento, não é?
Conseguimos dizer claramente que:
- A função deccresce no intervalo
- setinhas estão para baixo, e; - A função cresce no intervalo
- setinhas estão para cima.
Mas... e se ao invés de fornecer o gráfico a questão fornecer a expressão da função. Como achamos o intervalo nos quais ela crece e decresce?
É aí que entra o nosso conteúdo de hoje 🙂
Teste de Crescimento e Decrescimento
Esse teste nada mais é que uma forma rápida da gente achar os intervalos onde uma função é crescente e onde ela é decrescente e é MUITOOO útil para esboço de gráficos.
Esse teste dis o seguinte:
Agora vamos ver como aplicamos esse teste na prática. Considere essa função aqui:
A primeira coisa que vamos fazer é encontrar a deivada dessa função:
Agora, o que temos que fazer é estudar o sinal dessa derivada para saber quando ela será positiva e quando será negativa.
Para fazer isso, vamos separar a função em dois termos:
Agora, vamos construir o que chamamos de quadro de sinais: Na primeira linha coloque em ordem crescente as raízes de todos os termos e na primeira coluna coloque os próprios termos, a derivada e a função original, assim:
Agora vamos preencher as duas primeiras linhas do quadro analisando o sinal dos termos em cada intervalo. Desse jeito aqui:
Agora, a linha da derivada vamos preencher fazendo a multiplicação dos sinais de cada termo (isso porque a derivada é uma multiplicação dos termos, se fosse uma divisão você teria que dividir os sinais, beleza?)
Por fim, aplicamos o teste de crescimento e decrescimento, onde a derivada é positiva a função cresce e onde é nagativa a função decresce:
Sacou a dinâmica? Bora fazer mais exercícios para fixar bem?
Teste de Crescimento e Decrescimento
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UERJ - Cálculo 1 – Professora Renata - Lista Derivadas – 15 - Modificado
Determine:
Os intervalos nos quais é crescente.
Os intervalos nos quais é decrescente.
Passo 1
Para chegar nesses extremos precisamos derivar. Não precisamos nem transformar isso num polinômio e derivar, dá para usar a Regra do Produto:
Repara que dá para colocar em evidência um termo e dois termos :
Passo 2
Agora que já temos a derivada, para descobrir aonde essa função é crescente ou decrescente precisamos fazer um quadro de sinais com a derivada primeira:
Para construir esse quadro de sinais, é necessário avaliar cada termo dessa derivada. Por exemplo, para , sabemos que para qualquer valor de x maior que um, esse termo ficará negativo e para qualquer valor menor que 1, positivo.
Para , essa inversão de sinais ocorre em . Mas e para ? Nesse caso, para qualquer valor de x, o resultado será positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo e o número “1” que estamos somando também é!
Então, a nossa tabela de sinais fica assim:
A última linha, sinal de , é obtida pela multiplicação das outras linhas. Como assim? Vamos olhar para a quarta coluna da tabela. Nessa coluna, multiplicando os sinais das três primeiras linhas (-, + e +), o resultado do produto dá negativo. Portanto, esse é o sinal da última linha (sinal de )!
Daí tiramos que a função cresce em todo o domínio, menos no intervalo , onde é, portanto, decrescente. Formalmente falando:
Resposta
Exercício Resolvido #2
PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2013.1 – 4
Considere e funções definidas pelos gráficos abaixo. Sabendo que é tangente ao gráfico da e ao da em , e que corta os eixos nos pontos indicados, faça um esboço, no mesmo par de eixos, do gráfico das derivadas e .
Passo 1
Antes de pensar no gráfico em si da função, vamos pensar o que diabos aquela reta tangente ali tem a ver com a história. Bem, sabemos que ela, por ser tangente, vai ter a mesma derivada das duas funções no ponto de tangência. A reta passa pelo ponto , então:
Olhando o gráfico, também dá para perceber que a reta toca o eixo y no ponto . Assim, a reta passa pelo ponto também, substituindo para achar :
Show, então a derivada de e vale no ponto , que é o ponto de tangência.
Passo 2
Vamos concentrar agora na parte onde não temos valores. Sabemos que onde o gráfico cresce a derivada é positiva. Onde decresce ela é negativa. Esboçando umas regiões de crescimento e decrescimento:
Até , as duas derivadas são negativas. A partir daí, positivas. Em as derivadas são horizontais (olhe a linha pontilhada no gráfico) e, portanto:
Agora, repara naquele sinal de negativo pequeno que ali no fim: o gráfico volta a decrescer a partir daí, ou seja, um pouco à frente de . , porém, continua crescendo.
Passo 3
Agora podemos propriamente esboçar o crescimento e decrescimento das derivadas:
Esclarecendo uma coisa mais: Nesse caso, você não precisa saber como é o desenho do gráfico, a única coisa numérica é que e . Para construir o resto, usamos os intervalos de crescimento e decrescimento.