Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo
Teoria
Cara, cê pode estar um pouco assustado em como o comprimento de arco se relaciona como o Teorema Fundamental do Cálculo, mas calma, vamos descobrir juntos. Segura na minha mão e vem!
Imagina que a gente tem esse exemplo:
Exemplo: Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:
Aquela função já dá um pouco de medo, né? Isso porque ela está definida por uma integral. Mas vai dar tudo certo! Temos que a fórmula para calcular comprimento do arco de uma função num intervalo é
Então na verdade, a gente vai usar , e não , na fórmula. A questão é: como a gente acha a derivada de uma função definida por integral? Cara, é aí que a gente lembra da primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)!
Ela diz que para derivar
É só a gente pegar o integrando dessa integral, e no lugar de , colocar , assim:
E na fórmula, é o intervalo onde nossa curva está, então
Aí nosso comprimento de arco fica:
Agora repara uma coisa. Ali dentro da raiz temos um produto notável, do tipo
Sendo que para nós e , então
Substituindo isso na nossa integral:
A integral de é , podemos chegar nesse resultado usando uma substituição simples . Aí substituindo essa primitiva nas nossas continhas:
Prontinho!
Visão Geral
Cara, percebeu como o comprimento do arco e o TFC se relacionam? Na fórmula do comprimento de arco tem a derivada de uma função.
Se essa função for definida por integral, temos que usar o TFC para derivar essa bonita. E o que TFC diz? Foi o que a gente fez no exemplo! Lembra que a gente tinha
Para achar a derivada, a gente só substituiu em :
Ou seja, a gente tinha uma função do tipo:
E para achar a derivada, a gente só substituiu em :
Regra da Cadeia
Cara, vamos ver mais um exemplo:
Exemplo: Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:
Vimos ali em cima que vamos precisar de . Mas repara que no argumento de , ou seja, no extremo superior da integral que define a função, nós não temos o sozinho, mas temos . Isso quer dizer que é uma função composta!
E para derivar funções compostas, precisamos usar a regra da cadeia. E como fica essa regra para o TFC mesmo? Cara, vamos derivar
Então o que a gente vai fazer é substituir todo o extremo superior dessa integral, ou seja, , no integrando, no lugar de . E depois vamos multiplicar esse cara pela derivada de . Assim
Ou seja, vemos nesse exemplo que pode ser uma função composta, do tipo
E nesse caso, para achar a derivada, a gente substitui a função do extremo superior da integral em , e multiplica isso pela derivada :
Agora voltando para finalizar nosso exemplo...
Como o intervalo do nosso arco é
Nós substituímos o que temos na fórmulinha:
Temos a identidade trigonométrica que diz que
Substituindo
Aí para resolver essa integral usamos a substituição :
Achando os novos extremos de integração
A nossa integral fica
Olhando uma tabelinha de integrais, achamos a primitiva da secante
Como , temos
Prontinho. 😊
Vamos exercitar!
Visão Geral
Regra da Cadeia
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UNICAMP - Cálculo 1 - P3 2008.1 b – 3
O comprimento da curva que é gráfico de , , é dado pela fórmula
Calcule se
Passo 1
Bom, ele já deu a fórmula do comprimento. Então a questão toda é derivar esse e fazer a nova integral de . O vai sair tranquilamente pelo TFC, o Teorema fundamental:
Joga lá agora, Colocando nossos limites de integração sendo e pelo enunciado:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UNICAMP - Cálculo 1 - Exame 2015 – 3
Calcule o comprimento da curva definida pelo gráfico de com entre e . Dica: não tente resolver a integral que define , ela é muito difícil.
Passo 1
Vamos lá, se o cara deu a dica para resolver é claro que nós vamos seguir, né? Então, sendo dada por uma integral, que não vamos resolver, e se queremos o comprimento dela como é que a gente vai fazer?
Lembra o seguinte: para achar o comprimento de uma função a gente não precisa da função explícita e sim de sua derivada!
E derivar uma integral nós sabemos, isso pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Agora é só aplicar a fórmula do comprimento.
Passo 2
Vamos lá, a gente quer aplicar a função dada e os limites na fórmula do comprimento, que é essa aqui embaixo:
Os Limites de integração foram dados, e . Com o que já calculamos, fica assim:
Passo 3
A gente pode fazer esse cara por partes, da seguinte maneira: