Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

Produzido por Arthur Melo de Almeida
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Teoria

Cara, cê pode estar um pouco assustado em como o comprimento de arco se relaciona como o Teorema Fundamental do Cálculo, mas calma, vamos descobrir juntos. Segura na minha mão e vem!

Imagina que a gente tem esse exemplo:

Exemplo: Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:

f x = ∫ 0 x t g 2 t + 2 t g   t   d t ,           0 ≤ x ≤ π 3

Aquela função f x já dá um pouco de medo, né? Isso porque ela está definida por uma integral. Mas vai dar tudo certo! Temos que a fórmula para calcular comprimento do arco de uma função f x num intervalo a , b é

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Então na verdade, a gente vai usar f ' x , e não f x , na fórmula. A questão é: como a gente acha a derivada de uma função definida por integral? Cara, é aí que a gente lembra da primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)!

Ela diz que para derivar

f x = ∫ 0 x t g 2 t + 2 t g   t   d t

É só a gente pegar o integrando dessa integral, e no lugar de t , colocar x , assim:

f ' x = t g 2 x + 2   t g   x

E na fórmula, a , b é o intervalo onde nossa curva está, então

a = 0

  b = π 3

Aí nosso comprimento de arco fica:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

L =   ∫ 0 π 3 1 + t g 2 x + 2 t g   x 2   d x

L =   ∫ 0 π 3 1 + t g 2 x + 2 t g   x   d x

L =   ∫ 0 π 3 1 + 2 t g   x + t g 2 x   d x

Agora repara uma coisa. Ali dentro da raiz temos um produto notável, do tipo

A 2 + 2 A B + B 2 = a + b 2

Sendo que para nós A = 1 e B = t g   x , então

1 + 2 t g   x + t g 2 x = 1 + t g   x 2

Substituindo isso na nossa integral:

L =   ∫ 0 π 3 t g x + 1 2   d x

L =   ∫ 0 π 3 ( t g   x + 1 )   d x

A integral de t g   x é ln ⁡ sec ⁡ x , podemos chegar nesse resultado usando uma substituição simples u = cos ⁡ x . Aí substituindo essa primitiva nas nossas continhas:

L = ln ⁡ | sec ⁡ x | +   x π 3 0

L = ln ⁡ 1 cos ⁡ x +   x π 3 0 = ln ⁡ 1 1 / 2 +   x π 3 0

L = ln ⁡ 2 + π 3 - ( ln ⁡ 1 + 0 )   π 3 0

L = ln ⁡ 2 + π 3     u . c .

Prontinho!

Visão Geral

Cara, percebeu como o comprimento do arco e o TFC se relacionam? Na fórmula do comprimento de arco tem a derivada de uma função.

Se essa função for definida por integral, temos que usar o TFC para derivar essa bonita. E o que TFC diz? Foi o que a gente fez no exemplo! Lembra que a gente tinha

f x = ∫ 0 x t g 2 t + 2 t g   t   d t

Para achar a derivada, a gente só substituiu x em t :

f ' x = t g 2 x + 2 t g   x

Ou seja, a gente tinha uma função do tipo:

f x = ∫ c x g t d t

E para achar a derivada, a gente só substituiu x em t :

f ' x = g x

Regra da Cadeia

Cara, vamos ver mais um exemplo:

Exemplo: Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:

f x = ∫ 0 2 x t g   t 2   d t ,           0 ≤ x ≤ π 6

Vimos ali em cima que vamos precisar de f ' x . Mas repara que no argumento de f x , ou seja, no extremo superior da integral que define a função, nós não temos o x sozinho, mas temos 2 x . Isso quer dizer que f x é uma função composta!

E para derivar funções compostas, precisamos usar a regra da cadeia. E como fica essa regra para o TFC mesmo? Cara, vamos derivar

f x = ∫ 0 2 x t g   t 2 d t

Então o que a gente vai fazer é substituir todo o extremo superior dessa integral, ou seja, 2 x , no integrando, no lugar de t . E depois vamos multiplicar esse cara pela derivada de 2 x . Assim

f ' x = t g 2 x 2 ⋅ 2 x ' = t g 2 x 2 ⋅ 2 = t g 2 x

Ou seja, vemos nesse exemplo que f x pode ser uma função composta, do tipo

f x = ∫ c h x g t d t

E nesse caso, para achar a derivada, a gente substitui a função do extremo superior da integral h x em t , e multiplica isso pela derivada h ' x :

f ' x = g h x ⋅ h ' x

Agora voltando para finalizar nosso exemplo...

Como o intervalo do nosso arco é

a , b = 0 , π 6

Nós substituímos o que temos na fórmulinha:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

L =   ∫ 0 π 6 1 + t g   2 x 2   d x

Temos a identidade trigonométrica que diz que

sec 2 ⁡ 2 x = 1 + t g 2 2 x

Substituindo

L =   ∫ 0 π 6 sec 2 ⁡ 2 x   d x = ∫ 0 π 6 sec ⁡ 2 x   d x

Aí para resolver essa integral usamos a substituição u = 2 x :

d u d x = 2 → d u = 2 d x → d u 2 = d x

Achando os novos extremos de integração

u = 2 x

u 1 = 2 0 = 0

u 2 = 2 π 6 = π 3

A nossa integral fica

L = ∫ 0 π 6 sec ⁡ 2 x   d x = ∫ 0 π 3 sec ⁡ u 2   d u

Olhando uma tabelinha de integrais, achamos a primitiva da secante

L = 1 2 ln ⁡ t g   u + sec ⁡ u 0 π 3

L = 1 2 ln ⁡   t g π 3 + sec ⁡ π 3 - 1 2 ln ⁡   t g   0 + sec ⁡ 0

L = 1 2 ln ⁡ 3 + 2 - 1 2 ln ⁡   0 + 1

Como ln ⁡ 1 = 0 , temos

L = 1 2 ln ⁡ 3 + 2

Prontinho. 😊

Vamos exercitar!

Visão Geral

Regra da Cadeia

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