O comprimento do arco de uma curva é a medida da distância entre o início dessa curva até o final.
Até aí parece nada demais, né?
Pra ficar mais claro, saca só esse desenho. Imagina um homenzinho andando do ponto A ao ponto B, nesse caminho aqui:
Ilustração para o comprimento de um arco.
Pensa que esse caminho é descrito por uma . Quando a gente calcula o quanto esse homenzinho andou, a gente calcula o comprimento de arco dessa função!
Como calcular o comprimento de arco usando integral?
Com esse spoiler logo de cara, o cálculo aqui vai envolver integrais! Bora ver como?
A sacada está em ver que toda curva se aproxima muito de uma reta para intervalos bem pequenos. Se liga:
Aproximação do pedaço de uma curva por uma reta.
Para esses intervalos bem pequenos, podemos considerar:
Como os eixos e formam um ângulo reto, nós podemos ver em cada reta um triângulo retângulo.
Triângulo retângulo.
Deste modo, podemos usar Pitágoras para esse pedacinho muito pequeno da curva .
E podemos manipular isso aí pra chegar em algo mais simples de resolver. Se liga, vamos colocar o em evidência:
Opa! Aquele ali é outra maneira de escrever a derivada da função, então podemos substituir por .
Mas esse é só um pedacinho da curva, não é? Então, se for contínua, podemos integrá-lo para achar o arco da curva inteira, no intervalo .
Função comprimento de arco
A função comprimento de arco segue a mesma ideia da fórmula do comprimento de arco desenvolvida anteriormente. Só que agora, queremos defini-la de uma maneira mais geral, como se não conhecêssemos aqueles pontos e .
Vamos chamar essa função comprimento de arco de .
O ponto é o que vai delimitar o comprimento de arco que queremos calcular. A princípio, não o conhecemos; ele pode vir antes ou depois daquele ponto que estudamos no passo anterior.
Ilustração para definição da função comprimento de arco.
Então, vamos usar aquela fórmula do comprimento de arco, com os limites de integração e .
E trocamos o por lá dentro da integral só pra não ficarmos com representando duas coisas diferentes, tranquilo?
Exemplo: Encontre a função comprimento de arco de . Considere o ponto inicial da curva.
Beleza, pra aplicarmos as fórmulas que já vimos, vamos precisar da derivada dessa função aí!
Agora é só substituir. Como nosso ponto inicial é P(1,1), começamos a integrar a partir do x = 1.
Se desenvolvermos aquele produto notável ali dentro da raiz, vamos chegar no seguinte:
E isso é igual a:
Deriva:
E aplica os limites de integração:
Fechou, chegamos no nosso resultado!
Como calcular o comprimento de arco usando integral?
Função comprimento de arco
Exemplo: Encontre a função comprimento de arco de . Considere o ponto inicial da curva.