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Comprimento De Arco

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre comprimento de arco de uma curva e como calcular isso aí por meio de integrais.

Bora lá?

(Ah, se você preferir, pode assistir esse vídeo curtinho e bem explicadinho pra você. Ou segue comigo no textinho logo abaixo 👇)

⭐ Veja também ⭐

O que é o comprimento de um arco?

O comprimento do arco de uma curva é a medida da distância entre o início dessa curva até o final.

Até aí parece nada demais, né?

Pra ficar mais claro, saca só esse desenho. Imagina um homenzinho andando do ponto A ao ponto B, nesse caminho aqui:

Ilustração para o comprimento de um arco.
Ilustração para o comprimento de um arco.

Pensa que esse caminho é descrito por uma . Quando a gente calcula o quanto esse homenzinho andou, a gente calcula o comprimento de arco dessa função!

Como calcular o comprimento de arco usando integral?

Com esse spoiler logo de cara, o cálculo aqui vai envolver integrais! Bora ver como?

A sacada está em ver que toda curva se aproxima muito de uma reta para intervalos bem pequenos. Se liga:

Aproximação do pedaço de uma curva por uma reta.
Aproximação do pedaço de uma curva por uma reta.

Para esses intervalos bem pequenos, podemos considerar:

Como os eixos e formam um ângulo reto, nós podemos ver em cada reta um triângulo retângulo.

Triângulo retângulo.
Triângulo retângulo.

Deste modo, podemos usar Pitágoras para esse pedacinho muito pequeno da curva .

E podemos manipular isso aí pra chegar em algo mais simples de resolver. Se liga, vamos colocar o em evidência:

Opa! Aquele ali é outra maneira de escrever a derivada da função, então podemos substituir por .

Mas esse é só um pedacinho da curva, não é? Então, se for contínua, podemos integrá-lo para achar o arco da curva inteira, no intervalo .

Função comprimento de arco

A função comprimento de arco segue a mesma ideia da fórmula do comprimento de arco desenvolvida anteriormente. Só que agora, queremos defini-la de uma maneira mais geral, como se não conhecêssemos aqueles pontos e .

Vamos chamar essa função comprimento de arco de .

O ponto é o que vai delimitar o comprimento de arco que queremos calcular. A princípio, não o conhecemos; ele pode vir antes ou depois daquele ponto que estudamos no passo anterior.

Ilustração para definição da função comprimento de arco.
Ilustração para definição da função comprimento de arco.

Então, vamos usar aquela fórmula do comprimento de arco, com os limites de integração e .

E trocamos o por lá dentro da integral só pra não ficarmos com representando duas coisas diferentes, tranquilo?

Exemplo: Encontre a função comprimento de arco de . Considere o ponto inicial da curva.

Beleza, pra aplicarmos as fórmulas que já vimos, vamos precisar da derivada dessa função aí!

Agora é só substituir. Como nosso ponto inicial é P(1,1), começamos a integrar a partir do x = 1.

Se desenvolvermos aquele produto notável ali dentro da raiz, vamos chegar no seguinte:

E isso é igual a:

Deriva:

E aplica os limites de integração:

Fechou, chegamos no nosso resultado!

Como calcular o comprimento de arco usando integral?

Função comprimento de arco

Exemplo: Encontre a função comprimento de arco de . Considere o ponto inicial da curva.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 – 3

Ache o comprimento do arco da curva 8 y = x 4 + 2 x - 2 do ponto x = 1 ao ponto x = 2 .

Passo 1

Bom, comprimento de arco é só ir direto para a fórmula:

∫ a b 1 + f ' x 2 d x

f x = x 4 + 2 x - 2 8 → f ' x = 4 x 3 - 4 x - 3 8 = x 3 - x - 3 2

Jogo na raiz para depois integrar.

1 + f ' x 2 = 1 + x 3 - x - 3 2 2 = 1 + x 6 - 2 + x - 6 4

1 + x 6 4 - 1 2 + x - 6 4 = x 6 4 + 1 2 + x - 6 4 = x 3 + x - 3 2 2

Repara que é o mesmo produto notável que eu abri no termo da derivada, só que com o sinal positivo no termo central. Assim,

∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ a b x 3 + x - 3 2 d x

Passo 2

Meus limites de integração são a = 1 e b = 2 . Integro e acabou:

1 2 ∫ 1 2 x 3 + x - 3 d x = 1 2 x 4 4 + x - 2 - 2 [ 2 1 = 1 2   2 4 4 - 2 - 2 2 - 1 4 4 - 1 - 2 2

= 1 2   16 4 - 1 8 - 1 4 - 1 2 = 1 2   4 - 1 8 - 1 4 + 1 2 = 1 2   4 + 1 8 = 33 16

Resposta

L = 33 16

Exercício Resolvido #2

USP - Cálculo 1 - P3 2011.1 - 3_a

a ) Calcule o comprimento de y x = ln ⁡ ( 1 - x 2 ) para x ∈ 0 , 1 2

Passo 1

Temos como definição que o comprimento é dada pela fórmula abaixo:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Para a dada função, derivamos:

f ' x = 1 - x 2 ' 1 - x 2 = - 2 x 1 - x 2

Colocando no termo que vamos integrar, vamos ver como fica:

1 + f ' x 2 = 1 + - 2 x 1 - x 2 2 = 1 + 4 x 2 1 - x 2 2

= 1 - x 2 2 1 - x 2 2 + 4 x 2 1 - x 2 2 = 1 - 2 x 2 + x 4 + 4 x 2 1 - x 2 2 = 1 + 2 x 2 + x 4 1 - x 2 2

1 + x 2 2 1 - x 2 2 = 1 + x 2 1 - x 2

Agora vamos integrar de vez e ver como sai:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ 0 1 2 1 + x 2 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 2 - ( 1 - x 2 ) d x 1 - x 2 + ∫ 0 1 2 2 1 - x 2 d x

= - ∫ 0 1 2 d x + ∫ 0 1 2 2 1 - x 2 d x

Para essa segunda integral, vamos usar frações parciais:

2 1 - x 2 = A x + 1 + B 1 - x = A - A x + B + B x 1 - x 2

A = B = 1

- ∫ 0 1 2 d x + ∫ 0 1 2 2 1 - x 2 d x = - ∫ 0 1 2 d x + ∫ 0 1 2 1 1 + x d x + ∫ 0 1 2 1 1 - x d x

= - x + ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ 1 - x 1 / 2 0

- 1 2 + ln ⁡ 1 + 1 2 - ln ⁡ 1 - 1 2 - - 0 + ln ⁡ 1 + 0 - ln ⁡ 1 - 0

= - 1 2 + ln ⁡ 3 2 1 2 - 0 = ln ⁡ 3 - 1 2

Resposta

L = ln ⁡ 3 - 1 2

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 1, tradução da 5ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2005, pp. 548 ex 16

Ache o comprimento da curva:

y = ln ⁡ e x + 1 e x - 1 ,   a ≤ x ≤ b ,     a > 0

Passo 1

Po, os limites são letras a e b . Como eu vou substituir?

Ora, vai substituir a e b . Vai ficar literal e pronto.

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Fórmula, né? Lança aí e vamos botar para fud... ,digo, botar para ferrar!

f ' x = ln ⁡ e x + 1 e x - 1 ' = e x + 1 e x - 1 ' e x + 1 e x - 1 = e x + 1 ' e x - 1 - ( e x + 1 ) e x - 1 ' e x - 1 2 e x + 1 e x - 1

Olha essa Regra do Quociente nos visitando novamente!

e x + 1 ' e x - 1 - ( e x + 1 ) e x - 1 ' e x - 1 2 e x + 1 e x - 1 = e x e x - 1 - e x e x + 1 ( e x - 1 ) e x + 1 = e x ( - 2 ) ( e x - 1 ) e x + 1

f ' x = - 2 e x e x + 1 e x - 1 = - 2 e x ( e 2 x - 1 )

Passo 2

f ' x 2 = 4 e 2 x e 2 x - 1 2

1 + f ' x 2 = e 2 x - 1 2 + 4 e 2 x e 2 x - 1 2 = e 4 x - 2 e 2 x + 1 + 4 e 2 x e 2 x - 1 2 = e 4 x + 2 e 2 x + 1 e 2 x - 1 2

= e 2 x + 1 2 e 2 x - 1 2 = e 2 x + 1 e 2 x - 1

Assim, achei o meu termo para integrar:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ a b e 2 x + 1 e 2 x - 1 d x

Maluco, agora eu vou usar uma parada que não é boba de pensar não, é uma artifício muito diferente e que eu só aprendi por que um dia um professor meu mostrou, se não eu não ia tentar ele do nada nunca. Saca, vou deixar e x em evidência em cima e embaixo:

∫ a b e x ( e x + e - x ) e x ( e x - e - x ) d x = ∫ a b ( e x + e - x ) ( e x - e - x ) d x

Cortei ali também. Bom, se isso que eu vou mostrar aqui não é verdade:

e x - e - x ' = ( e x + e - x )

Ou seja, a derivada do denominador é igual ao termo de cima!

∫ b a ( e x + e - x ) ( e x - e - x ) d x = ∫ b a d u u = ln ⁡ u = ln ⁡ ( e x - e - x )

E pronto, resolvido à base de mágica! Como eu disse, não era nenhuma obrigação que você conhecesse essa resolução, mas é uma nova ideia e ferramenta para você pensar na próxima. Substituindo os limites:

  ln ⁡ ( e b - e - b ) - ln ⁡ e a - e - a = ln ⁡ e b - e - b e a - e - a

Resposta

ln ⁡ e b - e - b e a - e - a

Exercício Resolvido #4

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2009.2 – 5

A entrada de um dos estádios para as Olimpíadas de 2016 tem a forma da figura abaixo, e é constituída por 2 tubos circulares na forma de arco de curvas C 1 e C 2 , iluminados internamente com as cores dos países participantes. O custo estimado para estes tubos é de R $   10.000,00 por metro. A curva C 1 é determinada por: y = 3 x 2 3 e a curva C 2 por: y = 3 16 - x 2 3 . Determine o custo total desta obra.

Passo 1

O problema pede o custo da obra. O custo é dado por metro, ou seja, para calcularmos o custo, precisamos saber o comprimento dos arcos. Logo, trata-se de um problema sobre comprimento de arcos. O enunciado nos deu as fórmulas e os limites de integração no desenho. Estamos com a faca e o queijo na mão. Vamos lá.

Passo 2

Esse problema tem um “pulo do gato”!

Não precisamos calcular o comprimento de C 1 E de C 2 . Olhe para as fórmulas:

y = 3 x 2 3 e y = 3 16 - x 2 3

Repare que a diferença é só a substituição de x por 16 - x . Isso acontece porque C 2 é C 1 espelhada. Portanto, os arcos são simétricos e possuem o mesmo comprimento.

Vamos calcular só o comprimento de C 1 e multiplicá-lo por 2 . Depois, basta multiplicar pelo custo por metro para acharmos o custo total.

A fórmula para calcularmos o comprimento de um arco é:

∫ a b 1 + d y d x 2 d x

Passo 3

Curva C 1 :

y = 3 x 2 3

d y d x = 3 ⋅ 2 3 ⋅ x - 1 3 = 2 x - 1 3

∫ 0 8 1 + 4 x - 2 3 d x

Essa integral parece ser muito difícil de ser calculada. Vamos tentar usar o método x = f ( y ) :

y = 3 x 2 3 → x 2 3 = y 3 → x = y 3 2 3 3 2

d x d y = 1 3 3 2 3 2 y 1 2 = 1 2 3 y 1 2

x = 0 → y = 0

x = 8 → y = 12

∫ 0 12 1 + 1 2 3 y 1 2 2 d y = ∫ 0 12 1 + 1 12 ⋅ y d y

Fazendo a substituição u = 1 + 1 12 y → d u = 1 12 d y → d y = 12 d u

y = 0 → u = 1

y = 12 → u = 2

Aplicando:

∫ 1 2 u ⋅ 12 d u = 12 ∫ 1 2 u 1 2 d u = 12 ⋅ 2 3 u 3 2 1 2 =

= 8 2 2 - 1

Logo o custo total será:

C = 2 ⋅ 8 2 2 - 1 ∙ 10000 = 292548,34   reais

Obs:

Nesse problema, tivemos que calcular em função de y , já que facilitou muito o cálculo da integral. Portanto, se você estiver em um problema de comprimento de arco e cair em uma integral enrolada de calcular, tente fazer em relação a y para ver se a situação melhora!

Resposta

O custo será de

292548,34   reais .

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Calcule o comprimento do arco enunciado abaixo:

y = arccos ⁡ ( e x ) ,                     0 ≤ x ≤ ln ⁡ 1 2

Passo 1

Sério cara, seus pais já devem ter te ensinado a ser humilde né. Então me diz: Você realmente lembrar a derivada do arco-cosseno? Pode até ser que sim, mas a essa altura do campeonato é foda de recordar de absolutamente tuuudo por aí.

Agora vem a boa: quem disse que precisamos dessa derivada para matar a questão, heim?

A função está escrota; os limites estão escrotos; por que não mudamos tudo e integramos para y , e não para x ?

y = arccos ⁡ ( e x )

cos ⁡ y = e x

x = ln ⁡ cos ⁡ y

Ok, também não está nada bonito, mas pelo menos você deve lembrar mais facilmente da derivada do ln ⁡ x e do cos ⁡ x . E os limites? Bom, joga na equação e pronto, descobre os novos:

y 0 = arccos ⁡ e 0 = arccos ⁡ 1 = 0      

(ou qualquer múltiplo inteiro de   2 π )  

y ln ⁡ 1 2 = arccos ⁡ e ln ⁡ 1 2 = arccos ⁡ 1 2 = π 3

( ou   π 3   mais qualquer múltiplo inteiro de   2 π )

Bom, como você tem que pegar um intervalo que cresça do primeiro para o segundo esse deve ser qualquer intervalo com essa cara:

0 + 2 π . k ≤ y ≤ π 3 + 2 π . k

( onde   k   é qualquer múltiplo inteiro )

Vou pegar o mais óbvio, mas tanto faz:

0 ≤ y ≤ π 3           ;           ( k = 0 )

Bem melhor esse limite aí!

Passo 2

Agora caímos no passo-a-passo de sempre:

x ' = f ' y = d ln ⁡ cos ⁡ y d y = cos ⁡ y ' cos ⁡ y = - sen ⁡ y cos ⁡ y = - tg ⁡ y

O termo a ser integrado agora:

1 + f ' y 2 = 1 + - tg ⁡ y 2 = 1 + tg 2 ⁡ y

Opa! Existe uma relação fundamental aí, né?

1 + tg 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y

1 + tg 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y = sec ⁡ y

Ok, agora é integrar!

L = ∫ a b 1 + f ' y 2 d y = ∫ 0 π / 3 sec ⁡ y d y

Essa é uma integral que também é meio chata de lembrar, mas vou te elucidar:

∫ sec ⁡ y = ln ⁡ sec ⁡ y + tg ⁡ y

Aplicando agora os limites:

ln ⁡ sec ⁡ π 3 + tg ⁡ π 3 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tg ⁡ 0 = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 1

= ln ⁡ 2 + 3

Acabou!

Resposta

L = ln ⁡ 2 + 3

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Conforme a figura abaixo, uma viga horizontal com dimensões 2 pol × 6 pol × 16 pés (12 pol = 1 pé) fixada nos dois extremos é sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 120 lb/pé. Como resultado
Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva.y = ln ( sec x ) , 0 = x = pi // 4
Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1