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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 5

5) Uma partícula de massa m   =   2   desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força resultante   F → x = 1 x 2   i → . Sabe-se que x ( 0 ) = 1   e   v ( 0 ) = 0 . Expresse o módulo de v em função de x .

Passo 1

Lá da física, a gente sabe o seguinte:

F → =   m a →

Trabalhando na direção   i → :

m a = 1 x 2 →   2 ⋅ a = 1 x 2

a = 1 2 x 2   ( i )

Lá da cinemática, temos o seguinte:

v = d x d t e   a = d v d t  

Isolando o d t :

d t = d x v   e   d t = d v a  

Igualando , temos:  

a   d x   = v   d v   ( i i )

Juntando as relações i   e   i i :

1 2 x 2     d x = v   d v

Agora vamos integrar!!

∫ x ( 0 ) x ( t ) 1 2 x 2   d x = ∫ v ( 0 ) v ( t ) v   d v

Vamos escolher o limite de integração inferior como t   =   0 , pois temos informações sobre ele!

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1  

Passo 2

Agora vamos resolver a integral!

∫ x ( 0 ) x ( t ) 1 2 x 2   d x = ∫ v ( 0 ) v ( t ) v   d v → 1 2 ∫ x ( 0 ) x ( t ) 1 x 2   d x = ∫ v ( 0 ) v ( t ) v   d v

As coisas vão ficar assim ó:

1 2 x - 2 + 1 ( - 2 + 1 ) | x 0 x t = v 1 + 1 1 + 1 | v 0 v t → 1 2 x - 1 - 1 | x 0 x t = v 2 2 | v 0 v t

Passo 3

Agora vamos finalizar!

1 2 x - 1 - 1 | x 0 x t = v 2 2 | v 0 v t

- 1 2 1 x t - 1 x 0 = 1 2 v t 2 - v 0 2

cortando o   1 2   dos dois lados e substituindo os dados do enunciado:

- 1 x t - 1 1 = v t 2 - 0 2

Logo,

v t 2 = 1 - 1 x t

v ( t ) = 1 - 1 x t

Resposta

v ( t ) = 1 - 1 x t

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