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Curvatura e Raio de Curvatura

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Teoria

Fala aí! Hoje nós vamos aprender sobre os conceitos de curvatura e raio de curvatura. A curvatura e o raio de curvatura são medidas que indicam o quanto uma curva se distancia de uma reta ou, em outras palavras, a taxa com que tal curva está se curvando. Não entendeu nada? Bora ver isso aí de um jeito bem explicadinho pra você então.

O que é um Raio de Curvatura?

Imagine que você esteja no seu carro em uma estrada assim:

Carro em uma estrada curva.
Carro em uma estrada curva.

Enquanto você estiver naquela parte reta, você mal precisa mexer no volante, concorda? Agora, conforme você vai entrando na curva, você tem que ir virando o volante mais e mais. Olha só, vou posicionar você ali chegando na curva e desenhar um círculo que melhor aproxima a estrada naquele ponto, mais ou menos assim:

Ilustração de um raio de curvatura grande.
Ilustração de um raio de curvatura grande.

Esse círculo seria o trajeto que você percorreria se girasse o volante para acompanhar aquele pedaço da estrada e por qualquer motivo o volante travasse naquela posição, e você não conseguisse nem “virar menos” e nem “virar mais” o carro, sacou?

Vamos fazer a mesma coisa só que agora lá bem no meio da curva, onde ela é mais curva mesmo.

Ilustração de um raio de curvatura pequeno.
Ilustração de um raio de curvatura pequeno.

Pra fazer esse ponto da curva com sucesso, você teria que virar o volante bem mais do que o caso anterior, concorda? Por isso, seguindo a mesma história do seu volante travando, o círculo desenhado dessa vez seria bem menor.

Beleza, se você entendeu isso você já entendeu o conceito de raio de curvatura sem nem perceber 😄. O raio desse círculo com arco que melhor aproxima a curva naquele ponto é o que chamamos de raio de curvatura.

“- Mas pera aí, então uma curva mais intensa tem um raio de curvatura menor que uma curva mais intensa?”

Bom, sim, pouco intuitivo, né? Mas é aí que entra o próximo conceito.

Curvatura

A curvatura é o inverso do raio de curvatura! Geralmente, é representada por esse k meio amassado aqui 👉 (é a letra grega Kappa). Então, para um raio de curvatura qualquer, a curvatura vai ser dada por:

E agora sim, essa medida é bem mais intuitiva. Olha só porque: quando tivermos em uma curva bem suave, quase que reta, o raio de curvatura vai ser muito grande, mas a curvatura vai dar um número bem pequenininho. Legal, né?

Essa curvatura também pode ser definida como a taxa de variação do vetor tangente em relação ao comprimento do arco. Dá só uma olhada nesse vídeo sensacional pra ficar por dentro dessa definição de um jeito mais detalhado 👇

Tá, mas como que eu acho essa tal de curvatura ou o raio de curvatura de uma função se eu não tiver nem um nem outro? Aí vai entrar uma formulazinha que eu vou pedir pra você decorar. Se eu for demonstrar como se chega nessa fórmula aqui vai acabar a tinta da minha máquina de escrever e você só vai ficar mais assustado, então só confia em mim 😆.

A curvatura de uma função qualquer é dada pela fórmula:

É isso mesmo que você tá pensando, vamos trabalhar com derivadas e derivadas segundas aqui, além de um produto vetorial ali no numerador, que aparece quando estivermos trabalhando com uma curva parametrizada.

Se a função for dada na forma , a situação fica um pouquinho diferente. Neste caso, a curvatura dessa função vai ser dada por:

Bora ver como se aplica isso em um exemplo.

Exemplo: Encontre a curvatura e o raio de curvatura da curva em .

Como temos as equações paramétricas da função, vamos usar a primeira fórmula. Começamos encontrando as derivadas primeira e segunda:

Tranquilo, né? Só aplicamos a Regra da Cadeia.

Agora, vamos calcular aquele produto vetorial que aparece lá no numerador.

E como queremos o módulo disso:

E no denominador vai o módulo da derivada primeira:

Substituindo tudo isso na fórmula, ficamos com:

Analisado em , como o enunciado nos pediu:

E o raio de curvatura? É só inverter a fração!

E finalmente, temos nosso resultado. É um processo trabalhoso e que envolve bastante conhecimento prévio, então bora praticar pra ficarmos craques em todos esses conceitos!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.45. questão 3a.

Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P = 0,1

y = e x

Passo 1

Para encontrar a curvatura podemos usar a fórmula para a curvatura que diz que quando y = f ( x ) , κ = f ' ' x 1 + f ' x 2 3 2

Passo 2

f x = e x

f ' x = e x

f ' ' x = e x

No ponto P = 0,1 :

f ' 0 = 1

f ' ' 0 = 1

Passo 3

Substituindo na fórmula:

κ = 1 1 + 1 2 3 2 = 1 2 3 = 1 2 2 . 2 2 2 2 = 2 4

Passo 4

O raio de curvatura é o inverso da curvatura

R = 1 κ = 4 2 . 2 2 = 2 2

Resposta

κ = 2 4

R = 2 2

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.45. questão 6.

As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por:

σ t = 200 cos ⁡ t , 10 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Onde 200 e 10   são medidas expressas em unidades astronômicas (U.A.)

  1. Calcule a curvatura da orbita num ponto qualquer da mesma
  2. Encontre os pontos de máximo e mínimo para a curvatura. (Sugestão: o máximo (mínimo) da curvatura κ é o mínimo (máximo) do raio de curvatura R ).

Passo 1

a )

Para calcular a curvatura da órbita, vamos usar a fórmula

κ = σ ' t × σ ' ' t σ ' t 3

σ ' t = - 200 sen ⁡ t , 10 cos ⁡ t

σ ' ' t = - 200 cos ⁡ t , - 10 sen ⁡ t

σ ' t = - 200 sen ⁡ t 2 + 10 cos ⁡ t   2 = 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t

Passo 2

Agora vamos calcular esse produto vetorial:

i j k - 200 s e n   t 10 cos ⁡ t 0 - 200 cos ⁡ t - 10 s e n   t 0 = + 2000 s e n 2 t   k + 2000 c o s 2 t   k = 0,0 , 2000

Passo 3

Só substituir!

κ = 2000 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t 3 = 2000 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t 3 2          

Passo 4

b )

Beleza agora pra encontrar os pontos de máximo e mínimo para a curvatura, vamos usar uma malandragem aqui pra poder fica mais fácil maximizar e minimizar o raio de curvatura. Repara que:

40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t = 39900 s e n t 2 t + 100 s e n 2 t + 100 c o s 2 t = 39900 s e n 2 t + 100

Então

κ = 2000 39900 s e n 2 t + 100 3 2

E, como o raio de curvatura é o inverso da curvatura:

R = 39900 s e n 2 t + 100 3 2 2000

Agora eles dependem só de s e n ² t , que a gente já sabe que é uma função limitada:

0 ≤ s e n 2 t ≤ 1

Então, agora fica mais fácil usar a dica que a questão nos deu, de que a curvatura será máxima quando o raio de curvatura for mínimo e a curvatura será mínima quando o raio de curvatura for máximo.

Passo 5

O raio de curvatura será mínimo quando s e n ² t for mínimo, concorda?

Ou seja

s e n 2 t = 0

sen ⁡ t = 0

t = 0

t = π

t = 2 π

Logo, os pontos de mínimo do raio de curvatura são:

σ 0 = σ ( 2 π ) = 200 cos ⁡ 0 , 10 sen ⁡ 0 = ( 200,0 )

σ π = 200 cos ⁡ π , 10 sen ⁡ π = ( - 200,0 )

Passo 6

E o raio de curvatura será máximo quando s e n ² t for máximo, né?

Ou seja

s e n 2 t = 1

sen ⁡ t = 1 = ± 1

t = π 2

t = 3 π 2

Logo, os pontos de máximo do raio de curvatura são:

σ π 2 = 200 cos ⁡ π 2 , 10 sen ⁡ π 2 = 0,10

σ 3 π 2 = 200 cos ⁡ 3 π 2 , 10 sen ⁡ 3 π 2 = ( 0 , - 10 )

Passo 7

Como o que queremos saber são os pontos de máximo e mínimo da curvatura e sabemos que eles correspondem ao mínimo e máximo do raio de curvatura, nossa resposta será:

Pontos de máximo da curvatura:

200,0

( - 200,0 )

Que são os pontos de mínomo do raio de curvatura

Pontos de mínimo da curvatura:

0,10

( 0 , - 10 )

Que são os pontos de máximo do raio de curvatura.

Resposta

  1. 2000 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t 3 2
  2. Pontos de máximo da curvatura:

200,0

( - 200,0 )

Pontos de mínimo da curvatura:

0,10

( 0 , - 10 )

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.44. questão 2.

Seja y = f ( x ) a equação de uma curva C que tem inclinação igual a 1 em x = 0 .

Se f ' ' x = x 2 + 2 e x + e - x 2 determine a curvatura de C quando x = 0 .

Passo 1

Aqui podemos usar a fórmula para a curvatura que diz que quando y = f ( x ) ,

κ = f ' ' x 1 + f ' x 2 3 2

Bom, f ' ' ( x ) a questão já nos dá. Mas, precisamos acha-la para x = 0 . Então

f ' ' 0 = 0 2 + 2 1 + 1 2 = 2

E o f ' ( x ) ?

A questão também nos dá! Pois ela diz que a inclinação da curva em x = 0 é 1, ou seja

f ' x = 1

Passo 2

Agora é só substituir!

κ = 2 1 + 1 2 3 2 = 2 2 3 = 1 2

Resposta

κ = 1 2

Exercício Resolvido #4

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 263, exercício 20b.

Encontramos a curvatura total da parte de uma curva lisa que vai de s = s 0 ate s = s 1 > s 0 integrando κ de s 0 até s 1 . Se a curva tiver algum outra parâmetro, digamos t , então a curvatura total é:

K = ∫ s 0 s 1 κ d s = ∫ t 0 t 1 κ d s d t   d t = ∫ t 0 t 1 κ v d t

Onde t 0 e t 1 correspondem a s 0 e s 1 . Encontre a curtavura total da parábola

y = x 2 ,   - ∞ < x < + ∞

Passo 1

Para encontrar a curvatura vamos usar a fórmula

κ = ‖ σ ' t × σ ' ' t ‖ σ ' t 3

Vamos então parametrizar nossa parábola:

x t = t

y t = t 2

- ∞ < t < + ∞

→ σ t = ( t , t 2 )

Passo 2

σ ' t = 1,2 t

σ ' ' t = ( 0,2 )

σ ' t = 1 2 + 2 t 2 = 1 + 4 t 2

Passo 3

Agora vamos calcular esse produto vetorial:

i j k 1 2 t 0 0 2 0 = + 2   k = 0,0 , 2

Passo 4

Substituindo na fórmula:

κ = 2 ( 1 + 4 t 2 ) 3

Passo 5

Agora, pra achar a curvatura total, vamos integrar

K = ∫ t 0 t 1 κ v d t

t 0 = - ∞

t 1 = + ∞

κ = 2 ( 1 + 4 t 2 ) 3

v = σ ' t = 1 + 4 t 2

K = ∫ - ∞ + ∞ 2 1 + 4 t 2 3 . 1 + 4 t 2 d t

K = ∫ - ∞ + ∞ 2 1 + 4 t 2 2 d t = ∫ - ∞ + ∞ 2 1 + 4 t 2 d t

K = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 2 1 + 4 t 2 d t + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 2 1 + 4 t 2 d t

K = l i m a → - ∞ t g - 1 2 t 0 a + l i m b → + ∞ t g - 1 2 t b 0

K = l i m a → - ∞ - t g - 1 2 a + l i m b → + ∞ t g - 1 2 b = π 2 + π 2 = π

Resposta

K = π

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