Mostre que a curvatura de uma curva plana descrita por σ(t) = (x(t), y(t)) é

k(t) = |x'| t^2 + |y''| t - |y'| x''(t) / { |x'| t^2 + |y'| t^2 }^(3/2)

Observe que esta equação se reduz à equação (1.13) quando a curva tem equação cartesiana y = f(x) .

Passo 1

Bom galera, para encontrarmos a curvatura usamos uma fórmula, que é:

k t = σ ' t × σ ' ' ( t ) σ ' t 3

No caso, ficamos com:

k t = x ' t , y ' ( t ) × x ' ' t , y ' ' ( t ) x ' t , y ' ( t ) 3

Passo 2

Belezinha, agora a gente calcula o produto vetorial e depois a gente aplica a norma:

k t = x ' t , y ' ( t ) × x ' ' t , y ' ' ( t ) x ' t , y ' ( t ) 3

Calculando o produto vetorial ficamos com:

k t = x ' t ⋅ y ' ' t - y ' t ⋅ x ' ' ( t ) x ' t , y ' ( t ) 3

Então, a gente aplica a norma:

→ k t = x ' t ⋅ y ' ' t - y ' t ⋅ x ' ' ( t ) ( x ' t 2 + y ' t 2 ) 3

Passo 3

Show de bolinhas, a gente pode simplificar assim:

k t = x ' t ⋅ y ' ' t - y ' t ⋅ x ' ' t x ' t 2 + y ' t 2 3

→ k t = x ' t ⋅ y ' ' t - y ' t ⋅ x ' ' ( t ) ( x ' t 2 + y ' t 2 ) 3 2

Resposta

k t = x ' t ⋅ y ' ' t - y ' t ⋅ x ' ' ( t ) ( x ' t 2 + y ' t 2 ) 3 2

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