Derivada Por Definição

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

Trocando o valor de o limite vai ficar

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

Podemos agora, cortar o

Trocando o valor de por o nosso limite vai ficar

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Nem sempre vai ser só fazer umas continhas assim não, as vezes o limite fica mais brabo. Vamos ver isso nos próximos exercícios

Calma que ainda não acabou, falta achar a derivada nos pontos que ele pediu.

Agora é só trocar o valor de pelo que ele pediu

Se antes de chegar nesse exercício você olhou a teoria (se não olhou, não tem problema que eu vou te explicando pelo caminho), você deve ter visto que para calcular uma derivada utilizando a sua definição, temos que resolver o seguinte limite

Até aqui tudo bem, só que no problema foi pedido para usarmos outra forma da definição. Mas repare que essas duas fórmulas são parecidas, então não muda muita coisa. As duas formas são equivalentes.

Então para resolver esse exercício vamos utilizar a fórmula que o problema deu. E o primeiro passo é começar trocando o valor de , o nosso limite vai ser:

Como limite de tende a , vamos primeiro substituir por e ver se chegamos a algum resultado.

Opa! Temos uma indeterminação. Então vamos mudar a estratégia.

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite. Primeiramente vamos juntar as frações que estão no numerador do limite:

Agora vamos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda:

Repara que

Simplificando :

Trocando o valor de por o nosso limite vai ficar

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

Mas ele pediu para usarmos aquela forma da definição. Repara que essa é a segunda forma que escrevemos na teoria, então não muda muita coisa.

Agora, trocando o valor de , o nosso limite vai ser:

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

Substituindo por , temos uma indeterminação .

Então vamos completar o conjugado no termo de cima, multiplicando por

Simplificando

Agora, trocando por , vamos ter

Para uma função ser derivável em um ponto, mas especificamente no ponto , ela deve primeiro ser contínua nesse ponto.

Segundo, se então essa função for contínua no ponto zero e o limite

E esse limite existir, então a função é derivável no ponto

Vamos na definição para achar essa derivada :

Agora temos que aplicar e na função , assim como temos no numerador da definição :

Vamos juntar as duas frações do numerador:

Vamos aplicar agora:

Pra facilitar na notação, vou trocar o por:

Substituindo o limite teremos uma indeterminação de :

Então vamos completar o conjugado no termo de cima. Assim, multiplicamos em cima e embaixo por (no limite:

Corta o de cima com o debaixo:

Agora basta substituir o limite:

Concluímos que a derivada desse cara nesse ponto para será:

Começamos na definição da derivada:

Agora temos que aplicar e na função , assim como temos no numerador da definição .

O problema é ter que abrir um polinômio elevado a .

E agora? É onde a álgebra vem ao resgate. Lembra do Binômio de Newton? Ele encontra regularidades que facilitam a representação do polinômio. Em outras palavras, ele vai nos ajudar a escrever a parte de outra forma.

Então, usando o Binômio de Newton teremos,

Então, galera, surgiram alguns termos que a gente não estava esperando né? Mas vamos lá!

Agora vamos como calma!

Para , temos

Para, temos

Para , temos

Sendo que nós temos todos esses termos em um somatório, né? Então fica assim,

Substituindo na definição:

Repara que o cancela com do final:

Repara que sempre terá pelo menos um multiplicando o que sobrou. Podemos efetuar a divisão desse em cada termo:

Aplicando o limite, vão zerar todas essas potências de , restando só o primeiro termo, que não multiplica por . Deste modo,

Assim, a derivada de será !