Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 51
O custo (em dólares) de produzir unidades de uma certa mercadoria é
a) Encontre a taxa média da variação de em relação a quando os níveis de produção estiverem variando :
de a de a
b) Encontre a taxa instantânea da variação de em relação a quando . (Isso é chamado custo marginal. Seu significado será explicado na Seção .)
Passo 1
E aí, preparado para mais uma questão sobre taxas de variação?
Nesse problema foi dada uma função que representa o custo de produção de uma certa quantidade de um objeto.
A partir daí queremos obter a taxa média de variação de de até e tambem de para .
E tambem queremos obter a taxa de variação instantânea em .
Tem ideia de como fazemos isso? 😉
Para obter obter a variação nos intervalos podemos usar a equação
Já para obter a taxa de variação instantânea, fazemos
Veja só! 👀
Passo 2
Essa aqui é bem legal, bora lá!
Para encontrar a taxa média, usamos a fórmula:
Onde vai ser o valor dessa taxa. Precisamos de dois pontos para usar a fórmula: o ponto e o ponto ). Esses pontos a gente vai tirar de cada item que formos resolver, tranquilo?
Para encontrar tendo que , só precisamos jogar esse valor de na função custo que deram para a gente:
Agora, encontrando com :
Beleza, já sabemos quem são nossos dois pontos! Agora basta jogarmos na fórmula da taxa média, dá uma olhada em como vai ficar:
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Nesse item, fazemos de forma parecida ao item . Calculamos primeiro , considerando agora – já sabemos esse valor dos cálculos anteriores, certo? É
Agora devemos encontrar considerando , saca só:
E já temos os novos dois pontos! Utilizando a fórmula da taxa média:
Bacana, não é? 😊
Passo 4
Agora, temos que encontrar a taxa de variação instantânea quando . Toda vez que falamos em taxa instantânea, a gente ta falando de derivada! Lembra disso que cai que só em prova de cálculo.
O papo dessa questão é encontrar a derivada no ponto . A fórmula para a derivada em um ponto qualquer da nossa função custo vai ser essa aqui:
Se fizermos , vamos ter isso aqui:
Sabemos já que lá do passo . Substituindo vamos ter:
Beleza, nossa expressão ta ganhando mais forma! Agora, temos que encontrar quem é . Para isso, fazemos na expressão do curso, dá uma olhadinha em como é:
Vamos desenvolver esse produto notável quadrado da soma que temos aí, saca só:
Realizando as multiplicações:
Pronto! Substituindo na expressão de
Bora lá! 😊
Passo 5
Agora, só precismos resolver o limite que restou e teremos a nossa taxa de variação instantânea!
Se fizermos a substituição no limite, cairemos em uma indeterminação . Devemos deixar o em evidência no numerador para cancelarmos ele com o do denominador, tranquilo? Olha como faz:
Prontinho, a indeterminação já era! Fazendo agora a substituição , teremos:
Conseguimos, uhul! Achamos a nossa taxa de variação instantânea e essa questão aqui já era ;)
O que achou? Responde Aí! 😇
Resposta
- A taxa de variação instantânea para o ponto é