Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Bom, como a função tem expressões diferentes para e , precisamos analisar separadamente a sua derivada para cada um desses valores.

Começando com . Para esses pontos, temos:

Vamos aplicar então, as regras de derivação nisso aí.

Aplicando a regra do produto:

Agora, aplicamos a regra da cadeia em :

Para .

Temos que calcular as derivadas laterais em para ver se elas são iguais e diferentes de aí nesse ponto. Vou pelo método . Começamos verificando se ela é contínua no ponto:

Temos

Logo, sim, a função é contínua!

Falta ver se é derivável.

Derivando, teremos a mesma função dos dois lados, que já achamos no Passo :

Substituindo , temos:

Isso nos dá que:

A derivada desse cara vai ser a derivada da função, feita pelos métodos de derivação convencionais, para , somada à análise de sua possível derivada em .

Assim, começamos calculando essa derivada para valores fora de (com a Regra do Produto e da Cadeia):

Olhamos agora para . Vamos ver se a função é contínua e derivável nesse ponto, fazendo as derivadas laterais pelo método .

Começamos com a continuidade:

Indeterminação dentro do seno? Vamos usar o Teorema do Confronto!

Logo,

Do enunciado temos que:

É contínua! Ótimo, falta provar só se podemos derivá-la

Vamos na derivação agora. Do passo tínhamos:

Em a função não está definida, pois dá ruim. Porém, podemos aplicar o teorema do confronto, vem comigo!

Para a primeira parcela, temos

Já para a segunda parcela,

Assim,

Então, a função será derivável em ! Teremos nesse ponto.

Organizando tudo, teremos a derivada de dada por:

Observando a lei de definição de percebemos que exceto nos pontos e , é composta por funções deriváveis em seus domínios. A saber, , , (para ). E sabemos que a subtração, multiplicação e composição de funções deriváveis é derivável.

Então, os únicos candidatos a ponto onde a função é não derivável são e . Portanto, temos que analisá-los.

Vamos começar observando se são contínuas nesses pontos:

Portanto, a função é contínua nos dois pontos.

Dado isso, podemos fazer as derivadas das funções e ver se elas convergem lateralmente

Derivamos cada pedaço da função:

Em temos:

Derivável em !

Em temos:

Não será derivável em !

Assim, juntando essas derivadas à definição da derivada no ponto , teremos:

Note que a derivada não está definida para . Note ainda que se substituirmos na expressão ou na expressão temos como resultados que é o valor da derivada no ponto .

A primeira coisa quando nos deparamos com uma função com módulo é sempre reescrever ela sem o módulo. E pra isso temos que analisar o sinal do que está dentro do módulo:

Podemos ver que

Ou seja, a função pode ser escrita assim:

Pronto, agora é só derivar normal! Então vamos ter:

Vamos desenhar o gráfico desse módulo de parábola. O processo deve ser desenhar a própria parábola, descobrindo suas raízes e depois “espelhando” toda a região abaixo do eixo para cima.

Descobrindo as raízes da parábola, teremos:

Como essa parábola tem concavidade para cima, a gente sabe que a parte negativa dela está entre suas raízes, e . Com isso, espelhando essa região teremos esse gráfico:

Onde essa função será diferenciável? Repara, o polinômio, quando está fora do módulo, é sempre derivável para quantas vezes quisermos. Quer dizer, se a função fosse só nós saberíamos que ela é derivável sempre, para todos os reais, na derivada primeira, segunda, terceira, ... -ésima derivada.

O problema do módulo é gerar dois “bicos” ali que complicam para a primeira derivada e, portanto, para a segunda derivada, terceira e por aí em diante.

Logo, quais são os únicos pontos em que e não estão definidos?

Logo, é duas vezes diferenciável para todo real menos e : .

Para derivar a função, onde ela pode ser derivável duas vezes, começamos abrindo em forma de módulo:

Derivando esse cara, teremos:

Com isso

O mesmo para a segunda derivada.

Juntando isso em forma de chave, teremos:

Temos uma função definida em intervalos diferentes, isso é importante para fazer as derivadas. Para derivá-la, precisamos ver onde ela será derivável.

Em se tratando de polinômios, eles são deriváveis em todo o seu domínio. Com isso, o problema vai morar sempre em . Temos que observar se aí ele será derivável ou não, e podemos fazer isso analisando as derivadas laterais pelo método apresentado na teoria de Derivadas Laterais.

Vamos começar fazendo a continuidade:

Contínua!

A boa é derivar a função agora e ver se as derivadas laterais batem:

Aplicando às derivadas laterais, ficamos com:

É, a derivada aí converge para .

A nossa derivada vai ser

Já vimos que a derivada primeiro converge para um valor. Se queremos derivar a função

Pelo mesmo método do Passo precisamos que a função a ser derivada, seja contínua em para depois derivá-la lateralmente. Já vimos que a derivada primeiro converge para um valor, . Com isso, já podemos derivá-la e analisa-la lateralmente

Não sei ainda se existe derivada em , por isso não o coloquei ali

Aplicando às derivadas laterais, ficamos com:

Não dão o mesmo resultado, então não será derivável em

Vamos ter como resultado final

Agora vamos para a terceira derivada, lembra que a terceira derivada é derivar ? Então tudo isso que pensamos antes vai valer do mesmo jeito, nos dois intervalos que ele definiu fazemos a derivada normalmente.

Só que dessa vez não vamos fazer a terceira derivada em , isso porque sempre que uma derivada não existe, ela não vai existir para nenhuma ordem depois dela.

Não entendeu? Não existe segunda derivada para , isso vai nos dizer que não existe terceira derivada nesse ponto, nem quarta derivada, nem quinta, nem sexta, nem sétima e por aí vai. Entendeu? Não temos um valor para usar na definição, então ele também não existe.

Vamos ter derivando, portanto:

Usamos a continuidade lateralmente para observar suas derivadas laterais, calculadas pelo método apresentado na Teoria de derivadas laterais.

Trabalhamos, nas duas regiões de , com funções contínuas. Pode procurar, não há indeterminações ou pontos em que as funções explodam para nos seus domínios.

Pra variar, o nosso problema para ver a continuidade está simplesmente no ponto onde troca o domínio: . Vamos observar a continuidade nele.

Fazemos seus limites laterais:

Usando o Teorema do Confronto:

Assim,

Como os limites laterais não batem, ela não é contínua nem derivável em .

Agora precisamos derivar a função para observar sua continuidade no resto do domínio:

A primeira, para , é mais tranquila:

Essa derivada vale para com . Sim, esse é um ponto em que a derivada da função não será contínua em algum ponto. Nesse caso, vemos que a derivada não existirá em , pois esse valor gera , já que zeraria o denominador ali.