Função Diferenciável

Para resolver essa letra temos que lembrar que um limite qualquer num ponto só existe se os limites laterais nesse ponto existirem e forem iguais.

Então vamos lá, façamos um pela esquerda e depois o outro pela direita desse que ele pediu:

Aqui, como o limite é pela esquerda, usaremos para a função dada para valores abaixo de :

E a função em é dada para o valor da função quando , que é:

Com isso, teremos:

Agora para o limite pela direita teremos:

E usaremos para a função para valores acima de :

E a função em continua a mesma:

Com isso, teremos:

Os limites deram diferentes. Podemos concluir que o limite pedido não existe em .

Pera aí, você reparou que limite é esse que ele pediu no item ? É a definição de derivada!

No caso, ele usou em , por isso derivada em . Daí surge a pergunta, a função é derivável em ?

Bom, se o limite que define a derivada nesse ponto não existe, como vimos na última letra que os limites laterais não batem, a função não é diferenciável em .

Para que a função seja derivável é preciso que ela seja contínua e que sua derivada exista.

Aparentemente, pelo desenho, o único ponto que não será derivável, por não ser contínuo, é ! Então a função é derivável em

onde é seu domínio de até .

Para que seja contínua e não-derivável a função deve ser, no ponto, contínua sem que a derivada exista. Como fora da descontinuidade de nós não temos nenhum ponto onde a derivada aparenta lateralmente divergir ou explodir para , temos que o único ponto não derivável é o , onde a função é descontínua.

Sendo assim, não há pontos onde é contínua mas não derivável.

Como, comentado na letra , o único ponto não derivável é , por ser descontínuo. Essa é nossa resposta!

Observando a lei de definição de percebemos que exceto nos pontos e , é composta por funções deriváveis em seus domínios. A saber, , , (para ) e constantes ( e ). E sabemos que a subtração, multiplicação e composição de funções deriváveis é derivável.

Então, os únicos candidatos a ponto onde a função é não derivável são e . Portanto, temos que analisá-los.

Vamos ver se são contínuas nos dois pontos. Primeiro :

Agora vamos fazer em :

Os dois pontos são contínuos! Ainda não podemos afirmar se a função é diferenciável, mas podemos derivá-la e comparar suas derivadas laterais nesses pontos.

Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade no ponto.

Calculando a derivada pela esquerda no ponto .

Para a direita de , teremos:

Bateram no mesmo valor! Portanto, é derivável em .

Calculando a derivada pela esquerda no ponto .

Para a direita de , teremos:

A conclusão é que não é derivável em .

Ele quer que exista o limite. Temos, então, que achar esse limite primeiro. A função tem uma forma antes de e uma forma depois de , temos que calcular os limites laterais então, começando com

Agora, temos que achar o limite pela direita, ou seja,

Tudo se resume a achar

Se substituirmos os valores vamos ter

Que é uma indeterminação, temos que dar uma arrumada nisso

Vamos fatorar aquele polinômio de segundo grau que está no numerador da fração

Lembra como fatora um polinômio de grau? Ele tem a forma , temos que achar suas raízes, e depois ele fatorado vai ficar com e sendo suas raízes.

Vamos as raízes de , usando a fórmula da equação quadrática vamos ter

A fatoração vai ficar

Voltando ao limite

E o limite de vai ficar

Para o limite existir os limites laterais devem ser iguais então devemos ter

Ele quer que a função não seja contínua, então devemos ter esse valor diferentes de , que é o valor da função no ponto, assim temos

E

Arrumando essas duas “equações”

E

Basta pegarmos um valor de diferente de e diferente de , vamos fazer

Assim vamos ter

Então temos e .

Agora ele quer que seja contínuo, basta tirar aquele diferente e colocar um igual

Isso nos diz que

E vamos ter e para a função ser contínua

Antes de qualquer coisa vamos dar uma arrumada na função , na verdade já arrumamos, só quero escrever o que achamos

Beleza, agora ele quer saber se a função tem derivada no ponto , para isso temos que achar a derivada antes de e depois de .

Como são contínuas, podemos derivá-las normalmente pelos lados.

Vamos lá, começando com a função para

Vamos agora para

Como os valores das derivadas são diferentes pela direita e pela esquerda, ele não tem derivada nesse ponto.

Para provar que é derivável nesse ponto, temos que garantir que seja contínua e que o limite de sua derivada exista. Ou seja, em termos matemáticos, precisamos que:

Sabendo que , ou seja

Vamos calcular agora!

O limite da continuidade:

Como calculamos usando aquela relação:

Um velho conhecido: Teorema do Confronto! Repara nisso

Se os limites em volta convergirem para o mesmo valor, esse é o limite de

Então

OK, ela é contínua. Para garantir se será diferenciável temos que olhar para os limites das derivadas laterais.

O limite da derivada:

Mesma coisa! Vamos usar o Teorema do Confronto!

Calculamos os dois limites dos lados:

Boa! Os limites bateram e vemos que, com isso, o limite da derivada de também existe.

Se é contínua e derivável em , provamos sua diferenciabilidade nesse ponto!