Primitivas
Teoria
E aii, dá uma olhada nessa belezinha:
Aqui eu estou te mostrando que uma função foi derivada, e chegou ao resultado de .
Mas e se eu te perguntar, que função , é essa?
Complicado né, se eu te dou uma função você já sabe o que fazer para encontrar sua derivada, mas como fazer a operação contrária?
É aai que entra a ideia de primitivas e para achá-la, basta seguir o caminho oposto da derivada.
Então, vamos pensar:
Quando queremos derivar um polinômio, reduzimos um grau no numerador. Então, para fazer o sentido inverso, vamos adicionar:
Além disso, ao derivar multiplicamos pelo denominador, agora, para a primitiva, vamos dividir:
Pronto! Esse sempre aparece nas primitivas e representa uma constante qualquer.
Isso se deve ao fato que, quando derivamos, toda constante é perdida e quando tentamos voltar através para primitiva, não tem que como saber qual é a constante, então representamos por um geral e bonito.
Primitivas mais comuns
- Funções constantes :
- Função polinomial:
- Funções trigonométricas:
- Outras funções especiais:
Quando temos uma função constante, para fazermos a primitiva basta apenas colocarmos a variável que foi derivada x junto com a constante.
Primitiva:
Ex:
Uma primitiva é:
Quando derivamos, derrubamos o expoente multiplicando a varável e reduzimos um grau, assim na primitiva aumentamos um grau e dividimos pelo expoente.
Primitiva:
Ex:
Uma primitiva é:
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de
Primitiva de
E com derivadas de ordem superior?
Essa doidera de primitiva pode ter para derivadas de ordens maiores, por exemplo, queremos onde
Lembre-se que a derivada de ordem vai ser:
Então vamos pensar de novo na primitiva, qual função tem derivada ? Vai ser , pelo nosso método, não esquecendo a constante. Então aquela função dentro da derivada vai ser mais a constante
Opa, voltando para derivada de novo, vamos pensar a mesma coisa. A primitiva de será . A da constante vai ser , pelo método. Temos que colocar mais uma constante hein!
E essa é a nossa função que tem a segunda derivada sendo . Sacou? É só ir repetindo o processo de antes. Fique atento, que aqui vão aparecer várias constantes que podem ser diferentes, então uma letra para cada uma, ok?
Problema de Valor Inicial
Show, vimos o que é essa história de primitiva. No título tem essa parada de Valor Inicial.
WTF? Calma jovem!
Basicamente, lembra que achávamos as funções primitivas e colocávamos uma constante aleatória no resultado, certo? O barato agora é, através de um valor dado pelo exercício, descobrir essa constante! Esse é o Problema de valor inicial, ou PVI.
Vamos ver isso num exemplo.
Ex: Determine a função onde e .
Qual função cuja derivada é ? Esse é o exemplo inicial. A primitiva vai ser
Não podemos deixar de colocar a constante. Repara que dessa vez ele quer que . O que isso significa? Aquela função que achamos precisa obedecer isso.
Então vamos ter
Opaaa!! A constante agora é alguém, ele é um valor específico!
Pegou? Então vamos destruir nos exercícios de fixação, vem comigo!
Primitivas mais comuns
E com derivadas de ordem superior?
Problema de Valor Inicial
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
sGeorge B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg , 32a
Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.
Passo 1
Bom, vamos tentar achar a primitiva da nossa função, ou seja, o cara que quando a gente deriva dá .
Pra isso precisamos lembrar de algumas derivadas de funções trigonométricas, mais especificamente da função , porque:
Ooopa exatamente o que a gente queria, mas a questão ainda não acabou! Repara que o enunciado diz “possíveis funções”, então buscar outras funções.
Passo 2
Então, galerinha, lembra que a derivada de constante é igual a zero? Então se a gente tivesse uma constante somada a função tangente, teríamos
Derivando isso
Opa! Realmente, chegamos na derivada que o problema pediu. Deste modo, a forma correta de representar as possíveis funções com a derivada dada seguirá essa equação,
Onde é uma constante qualquer.
Resposta
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 285, 28c
Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.
Passo 1
Na derivada nós temos polinômios de grau zero, um e dois. Ora, pela nossa tabela, escrevemos a função referente a isso:
A função será basicamente essas função multiplicadas por constantes, cada uma:
Passo 2
Então derivamos esse cara:
Comparamos com isso aqui:
Nesse caso, notamos as seguintes igualdades:
Assim, a função final será:
Onde é uma constante qualquer.
Resposta
Exercício Resolvido #3
George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 346, 21
Demonstre que
Mesmo que
Justifique sua resposta.
Passo 1
Repara que as duas expressões que a questão dá pra gente são super parecidas, vamos tentar achar uma relação entre elas. A primeira é essa aqui:
Vamos ao mesmo tempo somar e subtrair no numerador desse cara, vê se você concorda que não estamos mudando o valor da expressão:
Organizando pra aparecer um termo igual ao denominador:
Vamos quebrar isso em duas frações:
Ué, apareceu a outra expressão do enunciado, só que somada de . Chegamos então nessa relação maneiríssima entre as duas expressões do enunciado:
Passo 2
Vamos agora pegar essa relação em que chegamos e derivar dos dois lados:
Abrindo a derivada do lado direito:
Como derivada de constante é :
Opaaa reparou aonde nós chegamos? Ah e em momento nenhum usamos que , ou seja, essa relação entre as derivadas vale seeempre, mesmo quando essas expressões assumem valores diferentes. Então acabamos de demonstrar o que o enunciado nos pede.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.
Passo 1
Para achar a primitiva dessa função, vamos na tabela e escrevemos o termo referente a cada um. Para , escrevemos o próprio . Para , colocamos . Já para o , teremos . Assim,
Multiplicando cada termo por uma constante e somando-os, teremos:
Passo 2
Derivando vamos obter:
Nesse caso, comparando com a derivada dada no enunciado, as constantes serão:
Por fim, a função é:
Onde é uma constante qualquer.
Resposta
Exercício Resolvido #5
George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp. 285-24.
Suponha que e que para qualquer . Obrigatoriamente, para qualquer ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Se temos , para calcular , devemos determinar a primitiva de .
Nesse caso, temos uma constante na derivada, ou seja, é como se tivéssemos um número vezes , de onde tiramos que escreveremos a função com :
Derivamos e comparamos com a derivada dada:
Logo, temos . Somando a constante na resposta, teremos:
Passo 2
O problema nos falou, porém, que:
Substituindo no geral que achamos:
Para as condições dadas, o único valor possível para é 5. Então a resposta é sim, obrigatoriamente para todo .
Resposta
Sim
Exercício Resolvido #6
UFF - Cálculo IA - P3 Javier 2013.2 – 4
Uma função tem derivada de segunda ordem
Encontre a expressão da , sabendo que seu gráfico contém o ponto e que em tal ponto a reta tangente é paralela à reta
Passo 1
De início, a gente já vê que trabalhamos com uma derivada de segunda ordem, de onde tiramos que esse é um problema com dois PVI’s. Vamos organizar isso tudo, se contém o ponto , significa que vale quando vale , ou seja:
Da mesma forma, se quando a reta tangente ao gráfico é paralela a , temos que a derivada nesse ponto valerá o mesmo que o coeficiente angular dessa reta, ou seja:
Esse é o problema que temos que resolver, por fim:
Passo 2
Assim, vamos pensar na função que quando derivada vai gerar essa . Nesse caso, temos um seno (cuidado com o fato de que ele tem um dentro, não só ) e um polinômio do primeiro grau.
Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um cosseno de mesmo argumento e um polinômio um grau acima, segundo grau:
Derivando:
Comparando com a derivada..
Teremos
Onde é uma constante qualquer.
Passo 3
Usando a condição da derivada em :
Teremos
Assim,
Passo 4
Assim, vamos pensar na função que quando derivada vai gerar essa . Nesse caso, temos um cosseno (cuidado, novamente, com o fato de que ele tem um dentro), um polinômio do segundo grau e um de grau zero (a constante ).
Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um seno de mesmo argumento e um polinômio um grau acima para cada um deles, terceiro e primeiro grau, respectivamente:
Derivando:
Comparamos com a :
Assim, as constantes e a função serão:
Onde é uma constante qualquer.
Passo 5
Usando a condição da derivada em :
Teremos
Assim, teremos finalmente: