Teoria

E aii, dá uma olhada nessa belezinha:

f ' x = 3 x 2

Aqui eu estou te mostrando que uma função foi derivada, e chegou ao resultado de 3 x 2 .

Mas e se eu te perguntar, que função f ( x ) , é essa?

Complicado né, se eu te dou uma função você já sabe o que fazer para encontrar sua derivada, mas como fazer a operação contrária?

É aai que entra a ideia de primitivas e para achá-la, basta seguir o caminho oposto da derivada.

Então, vamos pensar:

Quando queremos derivar um polinômio, reduzimos um grau no numerador. Então, para fazer o sentido inverso, vamos adicionar:

3 x 2 + 1 = 3 x 3

Além disso, ao derivar multiplicamos pelo denominador, agora, para a primitiva, vamos dividir:

3 x 3 3 = x 3 + C

Pronto! Esse C sempre aparece nas primitivas e representa uma constante qualquer.

Isso se deve ao fato que, quando derivamos, toda constante é perdida e quando tentamos voltar através para primitiva, não tem que como saber qual é a constante, então representamos por um C geral e bonito.

Primitivas mais comuns

  • Funções constantes f x = k :
  • Quando temos uma função constante, para fazermos a primitiva basta apenas colocarmos a variável que foi derivada x junto com a constante.

    Primitiva:

    k → k x + C

    Ex:

    f ' x = 1 2

    Uma primitiva é:

    1 2 x + C

  • Função polinomial:
  • Quando derivamos, derrubamos o expoente multiplicando a varável e reduzimos um grau, assim na primitiva aumentamos um grau e dividimos pelo expoente.

    Primitiva:

    x n → x n + 1 n + 1 + C

    Ex:

    f ' x = 3 x 2

    Uma primitiva é:

    3 x 2 + 1 2 + 1 + C → x 3 + C  

  • Funções trigonométricas:
  • Primitiva de f ' x = s e n x :

    - cos ⁡ x + C

    Primitiva de f ' x = cos ⁡ x :

    sen ⁡ x + C

    Primitiva de f ' x = tg ⁡ x sec ⁡ x :

    sec ⁡ x + C

    Primitiva de f ' x = cotg ⁡ x csc ⁡ x :

    - csc ⁡ x + C

    Primitiva de f ' x = cosh ⁡ x :

    senh ⁡ x + C

    Primitiva de f ' x = sec 2 ⁡ x :

    tg ⁡ x + C

  • Outras funções especiais:

Primitiva de f ' x = 1 x

ln ⁡ x + C

Primitiva de f ' x = e k x

e k x k + C

E com derivadas de ordem superior?

Essa doidera de primitiva pode ter para derivadas de ordens maiores, por exemplo, queremos f x onde

f ' ' x = 2

Lembre-se que a derivada de ordem 2 vai ser:

f ' ' x = f ' x '

Então vamos pensar de novo na primitiva, qual função tem derivada 2 ? Vai ser 2 x , pelo nosso método, não esquecendo a constante. Então aquela função dentro da derivada vai ser 2 x mais a constante

f ' x = 2 x + C

Opa, voltando para derivada de novo, vamos pensar a mesma coisa. A primitiva de 2 x será x 2 . A da constante vai ser C x , pelo método. Temos que colocar mais uma constante hein!

f x = x 2 + C x + D

E essa é a nossa função que tem a segunda derivada sendo 2 . Sacou? É só ir repetindo o processo de antes. Fique atento, que aqui vão aparecer várias constantes que podem ser diferentes, então uma letra para cada uma, ok?

Problema de Valor Inicial

Show, vimos o que é essa história de primitiva. No título tem essa parada de Valor Inicial.

WTF? Calma jovem!

Basicamente, lembra que achávamos as funções primitivas e colocávamos uma constante C aleatória no resultado, certo? O barato agora é, através de um valor dado pelo exercício, descobrir essa constante! Esse é o Problema de valor inicial, ou PVI.

Vamos ver isso num exemplo.

Ex: Determine a função f x onde f ' x = 2 x e f 2 = 3 .

Qual função cuja derivada é 2 x ? Esse é o exemplo inicial. A primitiva vai ser

f x = x 2 + C

Não podemos deixar de colocar a constante. Repara que dessa vez ele quer que f 2 = 3 . O que isso significa? Aquela função que achamos precisa obedecer isso.

Então vamos ter

f 2 = 2 2 + C = 3

4 + C = 3

C = - 1

Opaaa!! A constante agora é alguém, ele é um valor específico!

Pegou? Então vamos destruir nos exercícios de fixação, vem comigo!

Primitivas mais comuns

E com derivadas de ordem superior?

Problema de Valor Inicial

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