Teoria
E aii, dá uma olhada nessa belezinha:
Aqui eu estou te mostrando que uma função foi derivada, e chegou ao resultado de .
Mas e se eu te perguntar, que função , é essa?
Complicado né, se eu te dou uma função você já sabe o que fazer para encontrar sua derivada, mas como fazer a operação contrária?
É aai que entra a ideia de primitivas e para achá-la, basta seguir o caminho oposto da derivada.
Então, vamos pensar:
Quando queremos derivar um polinômio, reduzimos um grau no numerador. Então, para fazer o sentido inverso, vamos adicionar:
Além disso, ao derivar multiplicamos pelo denominador, agora, para a primitiva, vamos dividir:
Pronto! Esse sempre aparece nas primitivas e representa uma constante qualquer.
Isso se deve ao fato que, quando derivamos, toda constante é perdida e quando tentamos voltar através para primitiva, não tem que como saber qual é a constante, então representamos por um geral e bonito.
Primitivas mais comuns
- Funções constantes :
- Função polinomial:
- Funções trigonométricas:
- Outras funções especiais:
Quando temos uma função constante, para fazermos a primitiva basta apenas colocarmos a variável que foi derivada x junto com a constante.
Primitiva:
Ex:
Uma primitiva é:
Quando derivamos, derrubamos o expoente multiplicando a varável e reduzimos um grau, assim na primitiva aumentamos um grau e dividimos pelo expoente.
Primitiva:
Ex:
Uma primitiva é:
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de :
Primitiva de
Primitiva de
E com derivadas de ordem superior?
Essa doidera de primitiva pode ter para derivadas de ordens maiores, por exemplo, queremos onde
Lembre-se que a derivada de ordem vai ser:
Então vamos pensar de novo na primitiva, qual função tem derivada ? Vai ser , pelo nosso método, não esquecendo a constante. Então aquela função dentro da derivada vai ser mais a constante
Opa, voltando para derivada de novo, vamos pensar a mesma coisa. A primitiva de será . A da constante vai ser , pelo método. Temos que colocar mais uma constante hein!
E essa é a nossa função que tem a segunda derivada sendo . Sacou? É só ir repetindo o processo de antes. Fique atento, que aqui vão aparecer várias constantes que podem ser diferentes, então uma letra para cada uma, ok?
Problema de Valor Inicial
Show, vimos o que é essa história de primitiva. No título tem essa parada de Valor Inicial.
WTF? Calma jovem!
Basicamente, lembra que achávamos as funções primitivas e colocávamos uma constante aleatória no resultado, certo? O barato agora é, através de um valor dado pelo exercício, descobrir essa constante! Esse é o Problema de valor inicial, ou PVI.
Vamos ver isso num exemplo.
Ex: Determine a função onde e .
Qual função cuja derivada é ? Esse é o exemplo inicial. A primitiva vai ser
Não podemos deixar de colocar a constante. Repara que dessa vez ele quer que . O que isso significa? Aquela função que achamos precisa obedecer isso.
Então vamos ter
Opaaa!! A constante agora é alguém, ele é um valor específico!
Pegou? Então vamos destruir nos exercícios de fixação, vem comigo!