1. Esboce o gráfico de f x = x | x |
  2. Para quais os valores de x f é diferenciável?
  3. Encontre uma fórmula para f '

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu a função f x = x | x | e pediu pra gente esboçar o gráfico dela, determinar pra quais valores de x essa função é diferenciável e encontrar uma fórmula para sua derivada.

Mas antes de qualquer coisa, vamos analisar a nossa função. Temos um produto de uma função polinominal, x , com uma função modular x . Como essa função modular é definida por partes, a gente pode escrever a nossa função assim:

f x = x 2 ,     s e   x ≥ 0 - x 2 ,     s e   x < 0

Essa função é assim por definição, beleza? A partir disso, vamos conseguir esboçar nosso gráfico, derivar a nossa função e descobrir para quais valores essa derivada é válida.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando lá pra definição da nossa função no passo 1 , percebemos que a nossa f ( x ) é igual a x 2 , para valores de x positivos e iguais a zero ( x ≥ 0 ). E que ela é igual a - x 2 para valores de x negativos ( x < 0 ).

Então, é como se a gente tivesse metada de duas parábolas, uma com concavidade para baixo e outra com concavidade para cima, cruzando o eixo x na origem. Assim:

Passo 3

Agora vamos analisar a diferenciabilidade da função. Repare que para x > 0 , temos f x = x 2 , que é uma função polinomial definida para todos os valores de x . Isso nos possibilita escrever:

f ' x = 2 x

Da mesma forma, para x < 0 , temos f x = - x 2 , também definida em todo conjunto dos números reais (por ser uma função polinomial) e que vai nos dar a derivada:

f ' x = - 2 x

Isso significa que f é diferenciável para valores maiores e menores do que zero.

Passo 4

Agora para x = 0 , precisamos avaliar. E fazemos isso calculando os limites à esquerda e à direita de zero.

Para o limite à esquerda, temos:

f ' 0 = lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0

Substituindo a função:

f ' 0 = lim x → 0 + ⁡ x x - 0 x

f ' 0 = lim x → 0 + ⁡ x x x

Simplificando e aplicando o limite:

f ' 0 = lim x → 0 + ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x

f ' 0 = 0

Da mesma forma, para o limite à direita, teremos:

f ' 0 = lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0

f ' 0 = lim x → 0 - ⁡ x x - 0 x

f ' 0 = lim x → 0 - ⁡ x x x

Simplificando:

= lim x → 0 - ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ - x

Logo,

f ' 0 = 0

Portanto, f também é diferenciável em 0 e, consequentemente, é diferenciável para todo x .

Passo 5

Juntando esses resultados, vamos ter a fórmula da derivada dessa função:

f ' x =         2 x ,     s e   x ≥ 0 - 2 x ,     s e   x < 0    

Isso é a mesma coisa que escrever:

f ' x = 2 x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a) Gráfico no passo 2

(b) f é diferenciável para todo x .

(c) f ' x = 2 x

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