Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

EDO homogênea

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí, você acaba de chegar no Responde Aí! E aqui vamos te ensinar tudo sobre EDO Homogênea

Imagina que você tem um EDO como essa:

Essa não é uma EDO separável, então como podemos resolver?

meme: que saco!
meme: que saco!

Calma, essa é uma EDO Homogênea e agora vamos te mostrar como lidar com elas

Como saber se a EDO é Homogênea?

Quando a gente se depara com uma EDO não separável, a primeira coisa é testar se ela é homogênea.

Pra testar a se uma EDO é homogênea a gente substitui e por e . Se a gente conseguir “cancelar” o então a EDO é homogênea.

Exemplo

Confira se a EDO é homogênea.

Arrumando isso:

Logo, a gente volta pra EDO inicial

Viu que a EDO não mudou? Esse é o critério para ver se é homogênea. Temos que fazer essa troca e ver se a EDO não mudou.

Resolvendo uma EDO Homogênea

Show, agora a gente já garantiu que a EDO é Homogênea, mas e agora? Como resolve?

Meme: e agora???
Meme: e agora???

É tranquilo!

  1. Verificar que é homogênea
  2. Fazer a substituição
  3. Arrumar as EDO e verificar que ficou separável
  4. Resolver a EDO separável
  5. Voltar pra , substituindo

Exemplo:

Resolva a EDO homogênea

Passo 1: Primeiro a gente cria uma nova variável chamada

Passo 2: E usamos a regra do produto para encontrar a derivada

E derivamos os dois lados em função de

Logo:

Passo 3: Agora é só a gente substituir a expressão pela EDO e também substituir que

Reorganizando:

Passo 4: Agora a gente tem uma EDO de , e se você notar bem, essa é uma EDO separável

Reorganizando temos:

Chegamos em:

Virou uma EDO separável! Então vamos calcular como sempre, sem mistério ;)

Passo 5: Beleza, mas função original não era essa. Então a gente vai aplicar o valor de na expressão

Videoaula

Pra não restar nenhuma dúvida, confere essa videoaula sobre EDO homogênea

E aqui em baixo você encontra um monte de exercícios pra praticar 👇

Resolvendo uma EDO Homogênea

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp58-1

Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade se for o caso.

x 3 + 2 x y 2 - y 4 x

Passo 1

Repara que não tem como eu isolar x e y . Essa EDO não é separável. Deste modo, pode trata-se de uma EDO homogênea. Vamos confirmar isso?

Para testar se é uma EDO homogênea mesmo, temos que pegar o x e o y da nossa EDO e substituir por t x e t y respectivamente. Então vamos calcular f ( t x , t y )

f ( t x , t y ) = t x 3 + 2 t x t y 2 - t y 4 t x

Arrumando a função,

f t x , t y = t 3 x 3 + 2 x y 2 - y 4 x = t 3 f ( x , y )

Viu que a EDO não mudou? Esse é o critério para ver se é homogênea. Temos que fazer essa troca e ver se a EDO não mudou. Logo a função é homogênea

Passo 2

O grau de homogeneidade é definido pelo n presente na seguinte equação

f t x , t y = t n f ( x , y )

Entao no nosso caso o grau de homogeneidade é 3.

Resposta

A função é homogênea e tem grau de homogeneidade igual a 3.

Exercício Resolvido #2

Apostila Equações Diferenciais de 1ª Ordem-Prof. Reginaldo Santos-UFMG

Resolva a equação diferencial

y + 2 x y - x d y d x = 0  

Passo 1

Essa equação tá com muita cara de homogênea, né? Vamos calcular f ( t x , t y ) e descobrir.

t y + 2 t x t y - t x d y d x = 0

t y + 2 t x y - t x d y d x = 0

t y + 2 x y - x d y d x = 0

E esse cara entre parênteses nada mais é que o nosso f ( x , y ) , correto? Logo

f t x , t y = t f ( x , y )

A nossa equação é homogênea e podemos usar a substituição y = u x !

Passo 2

Fazendo a substituição y = u x e derivando temos

d y d x = d d x u x = u ' x + u

Jogando na nossa EDO

y + 2 x y - x d y d x = 0 → u x + 2 x u x - x u ' x + u = 0

Vários xuxuzinhos nessa equação kkkkk! Temos que fazer a separação de variáveis, mas como tá uma bagunça vamos isolar u ' primeiro!

u x + 2 x u x - x u ' x + u = 0

u x + 2 x u - x u ' x + u = 0

2 x u - x u ' x + u = - u x

u ' x + u = - u x 2 x u - x

u ' x + u = - u x x 2 u - 1

u + x u ' = - u 2 u - 1

Tamo chegando!

u ' x = - u 2 u - 1 - u

= - u 1 2 u - 1 + 1

= - u 1 + 2 u - 1 2 u - 1

= - u 2 u 2 u - 1

Agora sim

u ' = - 1 x 2 u u 2 u - 1

Ficou super top!

Passo 3

Pra facilitar o manuseio a gente volta a escrever u ' = d u / d x

d u d x = - 1 x 2 u u 2 u - 1

Agora joga tudo que é x pra direita e tudo que é u pra esquerda \o\

d u 2 u - 1 2 u u = - d x x

Tá ficando bonito! :D

Passo 4

Agora basta integrar dos dois lados

∫ 2 u - 1 2 u u d u = - ∫ 1 x d x

Vamos resolver a primeira integral

∫ 2 u - 1 2 u u d u

Podemos resolve-la por substituição

v = u 1 \ 2 → u = v 2

Derivando

d v = 1 2 u - 1 / 2   d u

d v = 1 2 u 1 / 2 d u

Voltando a integral

∫ 2 v - 1 v 2 d v = 2 ln ⁡ v + 1 v + C

Voltando para u

2 ln ⁡ v + 1 v = 2 ln ⁡ u 1 / 2   + 1 u + C = ln ⁡ u + 1 u + C

Passo 5

Já a integral do lado direito

- ∫ 1 x d x = - ln ⁡ x

Passo 6

Voltando para aquela nossa equação

∫ 2 u - 1 2 u u d u = - ∫ 1 x d x

Vamos ter

ln ⁡ u + 1 u + C = - ln ⁡ x

ln ⁡ u + u - 1 / 2 + C = - ln ⁡ x

u - 1 / 2 + C = - ln ⁡ x - ln ⁡ u = - ln ⁡ u x = ln ⁡ 1 u x

Usando a definição do logaritmo

1 u x = e u - 1 / 2 + C = e C e u - 1 / 2 = A e u - 1 / 2

Onde eu chamei e C de A já que esse dois são números e ficamos com essa expressão mais simpática

1 x = u A e u - 1 / 2

Passo 7

Pra finalizar, vamos voltar para a variável y

y = u x → u = y x

Assim

1 x = y x A e y / x - 1 / 2

Como y / x - 1 / 2 = x / y , podemos deixar essa equação um pouco mais simpática

1 = y A e x / y

Nessa equação não dá pra isolar y totalmente, mas dá pra fazer isso aqui ó

y = A e - x / y

Lembrando que A é uma constante qualquer!

Resposta

y = A e - x / y

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo IIA, P2 2013.1, Professor Javier Solano, Questão 1 item b

Resolva a seguinte equação diferencial

b)

d y d x = x 2 + 3 y 2 2 x y

Passo 1

Essa equação ta com muita cara de homogênea. Vamos calcular f ( λ x , λ y ) e descobrir.

d y d x = λ x 2 + 3 λ y 2 2 λ x λ y = x 2 + 3 y 2 2 x y

f λ x , λ y = f ( x , y )

Logo essa equação é homogena e podemos usar a mudança de variável y = u x

Passo 2

Fazendo então a mudança e lembrando que u = u x . Derivando em relação a x obtemos

d y d x = u + x d u d x

Substituindo isso na equação original temos

u + x d u d x = 1 + 3 u 2 2 u ⇒ x d u d x = 1 + 3 u 2 2 u - u ⇒ x d u d x = 1 + u 2 2 u ⇒ x   d u = 1 + u 2 2 u   d x

1 1 + u 2 2 u   d u = 1 x   d x ⇒ 2 u 1 + u 2   d u = 1 x   d x

Passo 3

Essa é a equação mais legal que pode aparecer na nossa vida! É só integrar dos dois lados e ser feliz.

2 u 1 + u 2   d u = 1 x   d x

Vamos precisar fazer uma substituição simples para integrar em u , que eu acredito que você já está savando muito.

∫ 2 u 1 + u 2 d u

Fazendo u - = 1 + u 2 temos d u - = 2 u   d u que “para nossa alegria”já está lá. Então a integral fica

∫ 2 u 1 + u 2 d u = ∫ 1 u - d u - = ln ⁡ u - = ln ⁡ 1 + u 2

Passo 4

Estamos chegando ao fim...

2 u 1 + u 2   d u = 1 x   d x

∫ 2 u 1 + u 2   d u = ∫ 1 x d x

ln ⁡ 1 + u 2 = ln ⁡ x + c 1

Passo 5

Voltando para as variáveis originais

ln ⁡ 1 + y x 2 = ln ⁡ x + c 1

ln ⁡ x 2 + y 2 x 2 = ln ⁡ x + ln ⁡ c

ln ⁡ x 2 + y 2 x 2 = ln ⁡ c x

Resposta

Logo as soluções da equação diferencial são dadas implicitamente pela equação

ln ⁡ x 2 + y 2 x 2 = ln ⁡ c x

Exercício Resolvido #4

USP, Cálculo 4, P3 2011, Questão 1 item b

Determine a solução da equação

x y ' = y + 2 x e - y / x

Que satisfaz a condição inicial

y 1 = 2

Passo 1

Essa equação é algo muito louco. Vamos isolar y ' para ver se aparece alguma coisa

y ' = y x + 2 e - y / x

Opa, temos duas vezes y / x , então é interessante olharmos se essa função é homogênea.

Para isso primeiro temos que achar f x , y que vai ser encontrada isolando d y d x

d y d x = y x + 2 e - y / x

Assim temos

f x , y = y x + 2 e - y / x

Agora fazemos f λ x , λ y para ver se é igual a f x , y ,

f λ x , λ y = λ y λ x + 2 e - λ y / λ x = y x + 2 e - y / x

Logo vamos ter

f λ x , λ y = f x , y

E essa equação vai ser homogênea

Passo 2

Para resolver uma equação homogênea nos fazer

y = z x

Logo

d y d x = d z d x x + z

Substituindo isso na equação vamos ter

d z d x x + z = z x x + 2 e - z x / x

Arrumando essa equação

d z d x x + z = z + 2 e - z

d z d x x = 2 e - z

Essa equação vai ser separável.

Passo 3

Vamos resolver essa equação separável

d z d x x = 2 e - z

Multiplicando cruzado para ter tudo com z de um lado e tudo com x do outro, vamos ter

d z e - z = 2 d x x

e z d z = 2 d x x

Integrando dos dois lados

∫ e z d z = ∫ 2 d x x

e z = 2 ln ⁡ x + C

Aqui podemos isolar z

z = ln ⁡ 2 ln ⁡ x + C

Passo 4

A solução dessa equação envolve na verdade x e y , então temos que voltar para y , lembrando que

y = z x

Temos

z = y x

E a nossa solução vai ser

y x = ln ⁡ 2 ln ⁡ x + C

y = x ln ⁡ 2 ln ⁡ x + C

Passo 5

Agora temos que achar essa constante C fazendo o valor inicial que ele deu

y 1 = 2

Então

2 = 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ 1 + C

2 = ln ⁡ C

Então

C = e 2

E nossa solução vai ser

y = x ln ⁡ 2 ln ⁡ x + e 2

Repara que ele deu um valor inicial de x que é maior que 0 então temos que considerar x > 0

x = x

E a nossa solução vai ficar

y = x ln ⁡ 2 ln ⁡ x + e 2

É Importante lembrar também que aquele cara dentro do segundo log precisa ser positivo

2 ln ⁡ x + e 2 > 0

ln ⁡ x > - e 2 2

Assim

x > e - e 2 / 2

Resposta

y = x ln ⁡ 2 ln ⁡ x + e 2

Com

x > e - e 2 / 2

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = y x + x 2 y 2 + 1
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 2 + x y - y 2 d x + x yd y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. xd x + ( y - 2 x )d y = 0
Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. y 2 + 3 x y d x = 4 x 2 + x y d y ; y 1 = 1
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x d y d x - y = x 2 + y 2