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Modelagens com Equação Separável

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Teoria

Introdução

Vocês já se perguntaram como os cientistas sabem a idade de um novo fóssil? Se você falou por datação de carbono, você acertou. Mas o que é isso? Então, o núcleo de carbono-14 não é estável e com o passar do tempo ele vai se tornando carbono-12, que é estável. Então, basicamente, para saber a idade do fóssil basta saber a quantidade de carbono-14 que ainda resta ali naquele fóssil.

A quantidade de carbono-14 dos tecidos orgânicos mortos diminui a um ritmo constante com o passar do tempo, então a gente pode descrever isso através da seguinte equação:

d y d t = k y

Onde, y seria a quantidade de carbono-14, k a constante que representa o ritmo desse decaimento, e d t é variação do tempo.

Ok, mas o que isso tem a ver com o nosso tópico de cálculo? Muitas vezes resolvendo questões vamos nos deparar com problemas onde a EDO a ser resolvida está escondida em uma aplicação. Nem sempre resolveremos questões de EDO onde o próprio enunciado já entrega a equação pra gente manipular e resolver.

Vamos ver agora os casos mais típicos de aplicações de equação separável, aquelas EDO’s que podem ser escritas da seguinte forma

d y d x = f y g x

Crescimento e Decrescimento

O exemplo mencionado na introdução é um caso de crescimento ou decrecimento, pois há o decrescimento de uma variável, proporcional à própria variável. E esses casos, vão ter essa cara aqui,

d y d t = k y

Vamos continuar com o exemplo! Vamos tentar descobrir quanto tempo para uma quantidade de carbono-14 decair 50%, ou seja, ter sua quantidade reduzida a metade. Pela fórmula que já entendemos, teremos

d y d t = k y

Passando y para um lado e d t para o outro, ficamos assim

d y y = k d t

Agora é só integrar,

l n y = k t + C

Como y é o valor que a gente quer achar, vamos tirar de dentro do logartimo elevando tudo a e ,

y = D e k t

Onde D é uma constante que surge lá da integração! Como no tempo zero, y tem que ser igual a y 0 , podemos escrever a equação assim,

y = y 0 e k t →   y y 0 = e k t

Como a gente quer saber o tempo que quantidade y é reduzida até a metade, ficamos com

0,5 = e k t → t = l n 2 k

Pronto! Repara que apenas entendendo o problema, nós conseguimos chegar a uma equação que descreve o decaimento do carbono-14, montando um EDO separável.

Outros problemas típicos dessa situação são:

  • Crescimento populacional
  • Decaimento de elementos radioativos
  • Rendimento de investimentos

Só lembrando que se o nosso k for positivo teremos um crescimento e se ele for negativo teremos um decrescimento.

Vamos para outros exemplos comuns.

Equação logística

Para falar dos casos de equação logística, vou te colocar em uma outra situação, que vai parecer um caso de crescimento populacional, mas terá um complicador.

O crescimento da população de uma vila é proporcional ao número de pessoas. Entretanto, existe uma constante da quantidade de alimento máximo que a vila consegue produzir. Dessa forma, quanto maior a população, menor vai ser a disponibilidade de comida e isso vai inibir o crescimento. Quando pensamos apenas no crescimento da população temos a seguinte fórmula,

d P d t = k P

Onde, P seria o tamanho população, k a constante que representa o ritmo de crescimento, e d t é variação do tempo. Mas agora nós temos a questão logística da comida, né, então teremos que adicionar um termo, ai fica assim

d P d t = k P ( a - b P )

O termo a - b P é justamente aquele fator que freia o crescimento devido à quantidade de comida. A equação acima é a chamada equação logística e temos que guardar ela pra resolver todos os problemas desse tipo.

Como nós queremos saber como essa população vai crescer com esse fator limitante, vamos resolver essa EDO separável.

d P P ( a - b P ) = k t

Integrando dos dois lados achamdo a equação que descreve o crescimento populacional,

P = a D e a k t 1 + b D e a k t = a D e - a k t + b D

Onde D é uma constante que surge lá da integração!

Lei de Resfriamento de Newton

Em problemas de mudança de temperatura, a lei de resfriamento de Newton é sempre a mais utilizada. Normalmente o problema vai avisar que é pra usar essa lei ou até mesmo fornecer ela, mas é bom saber ela no bolso pra caso contrário. Vamos à equação.

d T d t = k ( T - T m )

Onde T é a nossa variável de temperatura, t é o tempo, T m é a temperatura constante do meio e k é uma constante que depende do material e é menor que zero indicando que a temperatura do corpo está diminuindo.

Como nós queremos saber T , vamos resolver essa EDO separável.

d T ( T - T m ) = k d t

Integrando, a solução vai ser

T = D e k t + T m

Onde D é uma constante que surge lá da integração!

Equacão da reta tangente

Vamos ver agora uma modelagem que costuma cair com uma certa frequência em provas. São questões que envolvem a reta tangente em um ponto relacionadas com funções f ( x , y )

Calma, vamos ver um exemplo genérico para entender melhor!

Seja uma função   y = f ( x )

Relembrando que a equação da reta tangente em determinado ponto é dada por,

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde, m é a derivada no ponto, ou seja,

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

Também podemos escrever assim,

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

Opa! Chegamos novamente em uma EDO separável. Lembrando que aqui, antes de você partir para integração é importante identificar quem é x 0 e y 0 , que são as coordenadas do ponto.

Aí, pra a gente integrar bonito é só fazer

d y y - y 0 = d x x - x 0

Aí, basta resolver essa integral.

Esse tipo de questão é muito importante a interpretação. Então devemos prestar bastante atenção no enunciado. Então eu te apresentei aqui os casos mais classicos, mas lá nos exercícios vamos fazer alguns casos mais diferentes onde vamos ter que ter muita atenção para interpretar!

Vamos praticar!

Equação logística

Lei de Resfriamento de Newton

Equacão da reta tangente

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp134-9

Considere a lei de resfriamento de Newton, d T d t = k T - T m ,   k < 0 , em que a temperatura do meio ambiente T m varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja T 1 e que a temperatura inicial do meio ambiente seja T 2 e T m = T 2 + B ( T 1 - T ) , em que B > 0 seja uma constante.

  1. Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante t .
  2. Qual é o valor limite da temperatura quando t → ∞ ?
  3. Qual o valor limite de T m quando t → ∞ ?

Passo 1

Então, pessoal, vamos primeiro entender o problema para depois resolvê-lo. Note que o problema primeiro nos forneceu uma equação mais geral referente a lei de resfriamento de Newton,

d T d t = k T - T m

Seguindo com o enunciado, ele descreve uma situação em particular onde T m , pode ser descrita por,

T m = T 2 + B ( T 1 - T )

Então, galera, o que a gente precisa fazer é jogar essa situação particular na lei de resfriamento de Newton. A partir daí, nos podemos resolver a EDO, integrando de ambos os lados, chegando a uma equação que descreve temperatura do corpo em qualquer instante t .

Até aqui resolvemos a letra (a). As letras (b) e (c), a gente resolve aplicando o limite a partir da equação encontrada em (a), ok?

Então vamos lá!

Passo 2

  1. Para encontrar a nossa solução temos que resolver a EDO, pra isso vamos primeiro substituir T m na nossa lei de resfriamento de Newton. Dessa forma:

d T d t = k ( T - T 2 - B T 1 - T )

d T d t = k ( T 1 + B - T 2 - B T 1 )

Vamos agora escrever a equação naquele formato pra resolução de equação separável. Passando tudo que é T para um lado e no outro o que é função do tempo ( t )

d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = k d t

Vamos integrar ambos os lados e resolver cada uma das integrais indefinidas!

Passo 3

Resolvendo a equação da esquerda

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1

Repara que T 1 e T 2 representam a temperatura inicial do corpo e do meio ambiente, respectivamente. Deste modo, esses valores são constantes. Deste modo, apenas o T é varíavel e o resto são constantes. Lembrando que,

∫ d x α x + β = ln ⁡ ( α x + β ) α

No caso da nossa integral teriamos,

α = 1 + B

β = - T 2 - B T 1

Substituindo:

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = ln ⁡ T 1 + B - T 2 - B T 1 1 + B

Passo 4

Resolvendo o lado direito da igualdade temos.

∫ k d t = k t

Igualando as duas integrais que calculamos.

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = ∫ k d t

ln ⁡ T 1 + B - T 2 - B T 1 1 + B =   k t + C

Essa constante C que a gente adicionou foi justamente pelas constantes das integrais indefinidas que nós não colocamos lá atrás. Para sumir com esse l n , vamos elevar tudo a e e depois isolar T . Após essa manipulação das equações teremos:

T = e 1 + B ( k t + C ) + T 2 + B T 1 1 + B

Você deve se lembrar daquela propriedade da exponencial que e b + a = e b e a . Vamos usar ela pra escrever essa nossa constante de uma forma mais bonita:

e 1 + B ( k t + C ) = e k t 1 + B + C 1 + B = e 1 + B k t e 1 + B C

T = e 1 + B k t e 1 + B C + T 2 + B T 1 1 + B

Chamando a constante e 1 + B C de D, temos:

T = D e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Passo 5

No inicio do problema ele diz que a temperatura inicial é igual a T 1 . Com isso temos que T 0 = T 1 . Vamos usar essa informação pra achar a constante D .

T 0 = D e 1 + B k * 0 + T 2 + B T 1 1 + B = T 1

Como e 0 = 1 .

D + T 2 + B T 1 1 + B = T 1

D = T 1 - T 2

Substituindo D na nossa equação de T .

T = ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Passo 6

b) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função T que achamos na letra a quando t → ∞ . Vamos colocar a mão na massa.

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Vamos relembrar que lim t → ∞ ⁡ e a t = 0   quando a < 0 . Dessa forma:

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t 1 + B = 0

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B = T 2 + B T 1 1 + B

Passo 7

c) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função T m quando t → ∞ .

T m = T 2 + B T 1 - T

lim t → ∞ ⁡ T m = lim t → ∞ ⁡ T 2 + B T 1 - T

lim t → ∞ ⁡ T 2 + B T 1 - T = T 2 + B T 1 - B lim t → ∞ ⁡ T

Calculamos no item anterior que lim t → ∞ ⁡ T = T 2 + B T 1 1 + B .

lim t → ∞ ⁡ T m = T 2 + B T 1 - B T 2 + B T 1 1 + B = B T 1 + T 2 1 + B

Resposta

a)

T = ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

b)

T 2 + B T 1 1 + B

c)

B T 1 + T 2 1 + B

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Cálculo 2, P1 2009.2, Questão 1

Suponha que no instante t = 0 , a metade de uma população de 100.000 coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de 1000 coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por 80 % da população.

Passo 1

Formulação do problema:

Chamemos de Q ( t ) a quantidade de coelhos infectados e P = 100.000 a população total de coelhos.

A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados.

Portanto:

Q ' ( t ) = k Q ( P - Q )

Onde k é uma constante.

O problema diz que a taxa inicial é 1000 coelhos por dia.

Logo:

Q ' 0 = 1000

E também diz que metade da população está infectada inicialmente.

Então:

Q 0 = P 2

Agora temos um PVI:

Q ' t = k Q P - Q   Q ' 0 = 1000   Q 0 = P 2

Queremos descobrir o tempo T para o qual:

Q T = 0,8 P

Ou seja, em que tempo a quantidade de coelhos infectados é igual a 80 % da população total.

Passo 2

Como Q ' ( 0 ) e Q ( 0 ) são conhecidos, podemos calcular a constante k substituindo na EDO:

Q ' 0 = 1000

Q ' t = k Q P - Q

⇒ Q ' 0 = k ⋅ Q 0 ⋅ P - Q 0

⇒ 1000 = k ⋅ 50.000 ⋅ 100.000 - 50.000

⇒ 1 = k ⋅ 50.000 ⋅ 50

⇒ k = 4 ⋅ 10 - 7

Passo 3

Encontrar solução geral:

Colocar a derivada na forma d Q d t em vez de Q ' ( t ) e escrever apenas Q em vez de Q ( t ) :

d Q d t = k Q ( P - Q )

Passo 4

Isolar o termo d Q d t de um lado da equação e o resto do outro:

Já está!

Passo 5

Multiplicar cruzado:

d Q = k Q P - Q   d t

Passo 6

Separar tudo que tem t para o lado do d t e tudo que tem Q para o lado do d Q :

d Q Q P - Q = k   d t

Como jogamos o termo Q ( P - Q ) para o denominador, temos que dizer que é diferente de zero:

Q P - Q = 0

⇒ Q ≠ { 0 ,   P }

Passo 7

Integrar os dois lados:

∫ d Q Q P - Q = ∫ k   d t

Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:

1 Q P - Q = A Q + B P - Q

⇒ 1 Q P - Q = A ( P - Q ) + B Q Q ( P - Q )

⇒ 1 Q P - Q = - A + B Q + A P Q ( P - Q )

Igualando os numeradores temos que

- A + B = 0 A P = 1

Logo:

A = 1 P   B = 1 P

Substituindo:

1 Q ( P - Q ) = 1 P Q + 1 P P - Q

⇒ 1 Q ( P - Q ) = 1 P 1 Q + 1 P - Q

Logo:

  ∫ d Q Q ( P - Q ) = ∫ 1 P 1 Q + 1 P - Q d Q = 1 P ∫ d Q Q + ∫ d Q P - Q

Substituindo na primeira equação:

1 P ∫ d Q Q + ∫ d Q P - Q = ∫ k   d t

∫ d Q Q + ∫ d Q P - Q = P ∫ k   d t

A primeira e a última integral são tranquilas:

ln ⁡ Q + ∫ d Q P - Q = P k t + c

Nessa integral daí, podemos resolver por uma mudança de variável:

P - Q = x

Derivando dos dois lados (levando em consideração que P é constante) temos:

d x = - d Q           o u           d Q = - d x

Logo...

ln ⁡ Q + ∫ - d x x = P k t + c   →

ln ⁡ Q - ln ⁡ x = P k t + c   →

Como x = P - Q ...

ln ⁡ Q - ln ⁡ P - Q = P k t + c

Lembrando que ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b :

ln ⁡ Q P - Q = P k t + c

Passo 8

Se necessário, isolar Q ( t ) :

Como apareceu um ln ⁡   , vamos aplicar a exponencial nos dois lados:

e ln ⁡ Q P - Q = e P k t + c

Q P - Q = e c ⋅ e P k t

Q P - Q = ± e c ⋅ e P k t

Substituindo a = ± e c :

Q P - Q = a e P k t

Q = a P e P k t - a Q e P k t

Q 1 + a e P k t = a P e P k t

Q t = a P e P k t 1 + a e P k t

Passo 9

Resolver o PVI:

Q 0 = P 2

Substituindo t = 0 na solução geral:

Q ( 0 ) = a P e 0 1 + a e 0

Q 0 = a P 1 + a

Substituindo condição inicial:

P 2 = a P 1 + a

a 1 + a = 1 2

2 a = 1 + a

a = 1

Substituindo valor da constante na solução geral:

Q t = P e P k t 1 + e P k t

Passo 10

Encontrar T tal que Q T = 0,8 P :

Basta substituir Q = 0,8 P para encontrar T correspondente:

Q T = P e P k T 1 + e P k T = 0,8 P

⇒ e P k T 1 + e P k T = 0,8

e P k T = 0,8 + 0,8 e P k T

0,2 e P k T = 0,8

e P k T = 4

P k T = ln ⁡ 4

Substituindo valores de P e k :

100000 ⋅ 4 ⋅ 10 - 7 ⋅ T = ln ⁡ 4

⇒ T = 25 ln ⁡ 4

Resposta

T = 25 ln ⁡ 4

Exercício Resolvido #3

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp129-7

Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C . Inicialmente há 40 gramas de A e 50 gramas de B , e para cada grama de A ,   2 gramas de B são usados. É observado que 10 gramas de C são formados em 5 minutos. Qual é a quantidade remanescente de A e B depois de um longo período de tempo?

Passo 1

Pra resolvermos o que ele pergunta temos primeiro que chegar na equação da variação de C com o tempo, para isso temos que resolver a seguinte equação separável que nós já sabemos dos conhecimento sobre problemas de misturas.

A nossa formula é montada a partir da quantidade inicial dos reagentes que foi consumida pra formar o produto. A nossa reação nos diz que precisamos do dobro de b para cada quantidade de a

a + b = 1 a = 2 b

Resolvendo esse sistema

a = 2 3 ,     b = 1 3

Agora que sabemos disso vamos montar a nossa equação.

d C d t = k α - a C β - b C

d C d t = k 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C

Passo 2

Vamos escrever essa equação naquele formato de resolução de equação separável que já estamos acostumados.

d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = k d t

Integrando o lado esquerdo temos. Para isso vamos utilizar aquele método manjado das frações parciais.

1 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = A 50 - 1 3 C + B 40 - 2 3 C

1 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = A 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C + B 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Cortando os denominadores e fazendo a distributiva:

1 = 40 A - 2 A C 3 + 50 B - B C 3

0 C + 1 = - 2 A C 3 - B C 3 C + 40 A + 50 B

Disso obtemos o sistema.

1 = 40 A + 50 B

0 = 2 A + B

Resolvendo temos A = - 1 60 e B = 1 30 .

Passo 3

Substituindo os valores encontrados de A e B

∫ d C 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = ∫ - 1 60 50 - 1 3 C d C + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

Para resolver essa primeira integral do lado direito, podemos pensar em uma mudança de variável...

50 - 1 3 C = x       →

d x = - 1 3 d C         o u         d C = - 3 d x

Logo...

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = - 1 60 ∫ - 3 d x x + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ x + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

Como x = 50 - 1 3 C e também calculando a outra integral de forma análoga...

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C - 1 20 ln ⁡ 40 - 2 3 C

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Passo 4

Integrando o lado direito

∫ k d t = k t

Igualando os dois lados da equação vamos ter

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = ∫ k d t

1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C = k t + D

ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C = 20 k t + 20 D

e 20 k t + D = 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Onde D é uma constante que colocamos para substituir as constantes das duas integrais indefinidas que deixamos sem para fins de facilitar os cálculos.

C = 120 e 20 k t + D - 150   2 e 20 k t + D - 1  

Trocando e 20 D por uma nova contante E para facilitar os cálculos

C = 120 E e 20 k t - 150   2 E e 20 k t - 1

Passo 5

No problema ele diz que após 5 minutos são formados 10 gramas de C e devemos assumir também que no tempo inicial a quantidade de C é zero. Logo:

C 0 = 1 20 E e 20 k * 0 - 150   2 E e 20 k * 0 - 1 = 120 E - 150 2 E - 1 = 0

Disso temos que E = 5 4

C = 150 e 20 k t - 150   5 2 e 20 k t - 1

Como C 5 = 10 :

C = 150 e 100 k - 150   5 2 e 100 k - 1 = 10

25 e 100 k - 10 = 150 e 100 k - 150

140 = 125 e 100 k

k ≅ 0,0011 ≅ 0

Passo 6

Sabemos que a quantidade de B e A para um t tendendo ao infinito será dada pela expressão abaixo.

B = 50 - 1 3 C

A = 40 - 2 3 C

Calculemos o limite de C quando t tende ao infinito.

lim t → ∞ ⁡ 150 e 20 k t - 150   5 2 e 20 k t - 1 = ∞ ∞

Aplicando a regra de L’Hospital

lim t → ∞ ⁡ C = lim t → ∞ ⁡ 3000 e 20 k t   50 e 20 k t = lim t → ∞ ⁡ 3000   50 = 60

Substituindo o valor nas expressões que temos.

B = 50 - 1 3 * 60 = 30

A = 40 - 2 3 * 60 = 0

Resposta

B = 30 ,             A = 0

Exercício Resolvido #4

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Vol. 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, Pg 453exercício 6

A reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) , no ponto ( x , y ) , intercepta o eixo y no ponto de ordenada x y . Determine f sabendo que f 1 = 1 .

Passo 1

Primeiro vamos interpretar o enunciado. Nesse caso, ele fala da reta tangente. Seja a equação da reta tangente, então:

y - y 0 = m x - x 0

Com a inclinação da reta igual a m e essa reta passa pelo ponto x 0 , y 0

Mas calma, nós sabemos a inclinação da reta tangente, não é mesmo?

Assim:

m =   y '

Agora vamos identificar o ponto x 0 , y 0 .

Passo 2

Ele fala que essa reta intercepta o eixo y no ponto x y , então podemos escrever:

x 0 = 0 y 0 = x y

Agora basta substituir na equação da reta tangente para resolvermos a EDO.

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

y - x y = y ' x - 0 ⟹ y - x y = y ' x

Essa é uma EDO separável, então vamos separar a equação e resolver.

y - x y = y ' x ⟹ y ' = y - x y x

Então:

1 y y ' = 1 - x x

Assim, podemos escrever:

1 y d y = 1 - x x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 1 - x x d x

Assim:

ln ⁡ | y | = ln ⁡ | x | - x + c

Assim, isolando y :

y = x ⋅ e c - x

Passo 4

Agora vamos encontrar o valor da constante, pois sabemos que:

f 1 = 1

Então:

1 = 1 ⋅ e c - 1

Logo:

c = 1

Assim, chegamos:

y = x e 1 - x

Resposta

y = x e 1 - x

Exercício Resolvido #5

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pg 36-24

Um trenó foguete com velocidade inicial de 150 milhas/h (cerca de 241km/h) tem sua velocidade diminuída por um canal de água. Suponha que durante o processo de freagem a aceleração a é dada por a v = - μ v 2 , onde v é a velocidade e μ é uma constante.

  1. Use a relação d v d t = v ( d v d x ) para escrever a equação de movimento em função de v e de x .
  2. Se é necessária uma distância de 2000 pés (cerca de 609.6m) para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h, determine o valor de μ .
  3. Encontre o tempo τ necessário para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h.

Passo 1

a) Na primeira letra ele quer que a gente escreva a equação diferencial em função de v e x . Vamos botar a mão na massa.

d v d t = a t = - μ v 2

d v d t = v d v d x

Subtituindo a primeira equação na segunda:

d v d t = v d v d x = - μ v 2

d v d x = - μ v

Essa EDO é de que tipo? Separável!

Passo 2

b) Pra acharmos o valor de μ a partir da distância temos que resolver a equação separável que encontramos na letra a

∫ d v - v = ∫ μ d x

Passo 3

Resolver essas integrais já é mole pra gente. Vamos fazer

∫ d v - v = - ln ⁡ v

∫ μ d x = μ x

- ln ⁡ v = μ x + C

Onde C é uma constante que a gente adiciona por estarmos lidando com integrais indefinidas.

v = e - μ x + C

Trocando a constante e - C por uma outra constante A .

v = A e - μ x

Passo 4

Para acharmos os valores de A e de μ temos que usar as informações inciais que ele nos dá: v 0 = 241   k m / h e v 0.6096 = 24,1   k m / h .

v 0 = A e - μ * 0 = A = 241   k m / h

v 0.6096 = 241 e - 0.6096 μ = 24,1

e - 0.6096 μ = 1 10

- 0.6096 μ = ln ⁡ 1 10

Usando uma calculadora esperta, vamos achar:

μ = - 1 0.6096 ln ⁡ 1 10 ≅ 3.777 k m - 1

Passo 5

c) Para resolvermos essa letra temos que resolver:

d v d t = - μ v 2

Porque? Porquê ele quer relacionar velocidade e tempo e não velocidade e espaço como nos outros itens!

Escrevendo naquele formato característico de resolver equação separável e integrando de ambos os lados.

∫ d v v 2 = ∫ - μ d t

∫ d v v 2 = - 1 v

∫ - μ d t = - μ t

- 1 v = - μ t + D

Onde D é uma constante.

Passo 6

Vamos substituir o valor da velocidade inicial, v 0 = 241   k m / h para calcular D .

- 1 241 = - μ * 0 + D

D = - 1 241 h k m  

Assim teremos:

- 1 v = - μ t + D

- 1 v = - μ t + - 1 241

- 1 v = - 241 μ t 241 - 1 241

v t = 241 241 μ t + 1 ,     μ = 3.777 k m - 1

Calculando τ tal que v τ = 24,1   k m / h

v τ = 241 241 μ τ + 1 = 24 , 1       →

241 = 241 μ τ + 1 24 , 1   →

241 24 , 1 = 241 μ τ + 1 →

10 = 241 μ τ + 1 →

τ = 9 241 μ = 0.009887   h = 35.594 s

Resposta

a) d v d x = - μ v

b)

μ = - 3.777 k m - 1

c)

τ = 35.594 s

Exercício Resolvido #6

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pg 37-29

Suponha que um foguete é projetado da superfície da Terra diretamente para cima com velocidade inicial v 0 = 2 g R , onde R é o raio da Terra. Despreze a resistência do ar.

  1. Encontre uma fórmula para a velocidade v em função da distância x à superfície da Terra.
  2. Encontre o tempo necessário para o foguete percorrer 240.000 milhas(a distância aproximada da Terra à Lua). Suponha que R = 4000 milhas

Passo 1

a) Pra acharmos a fórmula que o problema pede vamos ter que lembrar dos nossos conhecimentos de física. Dessa forma, num movimento desacelerado sobre o efeito somente da gravidade teremos.

m d v d t = - G m M R + x 2  

Onde G é a constante universal gravitacional, m é a massa do foguete e M a massa da terra!

No entanto, nós sabemos que d v d t = v d v d x e que g = G M R 2 . Substituindo isso na nossa equação e cortando o m .

v d v d x = - g R 2 R + x 2

Vamos passar essa equação para a forma que estamos acostumados? Partiu...

d v d x = - g R 2 v R + x 2

Que tipo de EDO é essa? Isso mesmo, separável. Basta fazer

f v = 1 v

g x = - g R 2 R + x 2

Passo 2

Vamos colocar a mão na massa e resolver essa equação diferencial.

∫ v d v = ∫ - g R 2 R + x 2 d x

Integrando o lado esquerdo da equação.

∫ v d v = v 2 2

Integrando o lado direito.

∫ - g R 2 R + x 2 d x = ∫ - g R 2 R + x - 2 d x = g R 2 R + x

Igualando os dois lados e lembrando de somar uma contante C para compensar essas integrais indefinidas que nós fizemos.

v 2 2 = g R 2 R + x + C

Passo 3

Substituindo o valor Inicial que ele deu v 0 = 2 g R

2 g R 2 2 = g R 2 R + C

C = 2 g R 2 - g R = 0

Substituindo o valor de C na equação que encontramos antes e manipulando um pouco teremos.

v = R 2 g R + x

Passo 4

b)Lembrando que v = d x d t . Temos que para encontrar o tempo necessário pro foguete atingir 240.000 milhas devemos resolver a seguinte EDO.

d x d t = R 2 g R + x

Colocando na forma característica de resolução de equação separável.

R + x d x = R 2 g d t

Passo 5

Integrando o lado esquerdo da equação.

∫ R + x d x = 2 3 R + x 3 2

Integrando o lado direito da equação.

∫ R 2 g d t = R 2 g t

Igualando os dois lados e lembrando de somar uma contante D para compensar essas integrais indefinidas que nós fizemos.

2 3 R + x 3 2 = R 2 g t + D

Passo 6

Usando o fato que x 0 = 0 , ou seja, que no momento inicial a distancia da superfície é zero, temos.

2 3 R + 0 3 2 = R 2 g * 0 + D

D = 2 3 R 3 2

Manipulando pra escrever a equação de t em função de   x .

t ( x ) = 2 3 R + x 3 2 - 2 3 R 3 2 R 2 g

Convertendo milhas prar metros, R = 6437376 m e d = 386242560 e utilizando g = 10 m / s 2 .

t d = 2 3 392679936 3 2 - 2 3 6437376 3 2 6437376 20 ≅ 50,6 h

Resposta

a)

v = R 2 g R + x

b)

t d = 50,6 h

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