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EDO Exata

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Teoria

Opaa, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre EDO exata?! 😉 👇

O que é uma Equação Diferencial Exata?

Segundo o critério de Euler, uma EDO é exata se puder ser escrita da seguinte forma:

Onde:

Não entendeu nada? Bora ver um exemplo então! Vamos considerar a seguinte EDO:

Só de olhar a carinha dessa equação, podemos perceber que ela é de primeira ordem, afinal sua maior derivada tem ordem 1. Além disso não conseguimos isolar a derivada, por isso ela não é uma EDO separável! Vamos verificar se ela é uma EDO exata!

A primeira coisa que temos que fazer é escrever ela no formato de uma EDO exata:

Critério para uma EDO ser Exata
Critério para uma EDO ser Exata

Agora vamos derivar em relação a e em relação a . Se essas duas derivadas forem iguais a nossa equação será exata!

Opaa! Temos uma EDO exata, bora aprender resolve-la?! 😍

📢 Clique para ver mais:

Como Resolver uma EDO de 1ª Ordem Exata

Vamos ver um passo a passo super completinho pra você aprender de uma vez por todas como resolver uma EDO de 1ª ordem exata! Para isso vamos usar o exemplo que vimos a cima:

Passo 1: Confirme que é uma EDO exata

Como vimos ali em cima, uma EDO é exata se obedece os seguintes critérios:

Já fizemos as continhas lá em cima e descobrimos que a nossa EDO é exata! Então podemos pular essa etapa. 😉

Passo 2: Integre em função de

Integrando temos:

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Passo 3: Derive o que foi obtido no passo 2, em relação a y

No passo 2 a gente integrou em relação a . Agora vamos derivar o resultado em relação a , para isso fazemos:

Passo 4: Compare o obtido no passo 3 com N(x)

Comparando o resultado do passo 3 com N(x) a gente consegue isolar g’(x):

Passo 5: Integre g’(x) para achar g(x)

Para isso fazemos:

Passo 6: Obtenha a função 

Agora é só correr pro abraço! 😄 Vamos praticar com mais exercícios?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Exercício nº 1 letra “e” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a equação diferencial.

d y d x = - x + x y 2 y + x 2 y

Passo 1

Primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem, mas da pra ver que separável não deve ser, muito difícil separar isso (se é que é possível)!

Vamos então reescrever a EDO no formato que usamos pras EDOs exatas. Primeiro, multiplicamos cruzado:

y + x 2 y d y = - x + x y 2 d x

E então passamos tudo pro mesmo lado:

x + x y 2 d x + y + x 2 y d y = 0

Opa, ficou com aquela cara bacana pra gente testar se é uma EDO exata!

M x , y = x + x y 2 e N x , y = y + x 2 y

Para ser exata: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ M ∂ y = 2 x y

∂ N ∂ x = 2 x y

Logo é uma EDO Exata!!

Passo 2

Integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ ( x + x y 2 ) d x = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y ∂ y = x 2 y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

x 2 y + g ' y = y + x 2 y → g ' y = y

Integrando com relação a y :

g y = y 2 2

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + y 2 2

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2 = C

Resposta

C = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2

Exercício Resolvido #2

Exercício nº 1 letra “a” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a seguinte equação exata:

e y d x + x e y - 2 y d y = 0

Passo 1

Vamos ver se é uma EDO exata!(Mesmo ele dizendo que é, só para treinar)

M x , y = e y e N x , y = x e y - 2 y

Para ser exata: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ M ∂ y = e y

∂ N ∂ x = e y

Logo é uma EDO Exata!!

Passo 2

Integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ e y d x = x e y + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ x e y + g y ∂ y = x e y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

x e y + g ' y = x e y - 2 y → g ' y = - 2 y

Integrando em relação a y temos

g y = - y 2

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = x e y + g y = x e y - y 2

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = x e y - y 2 = C

Resposta

C = x e y - y 2

Exercício Resolvido #3

Apostila Cálculo 2A –Prof.ª Cristiane R.R. Argento, Prof. Freddy Hernández

Resolva a equação diferencial

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) y ' + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

Passo 1

Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Com essa aí temos que manipular um pouco pra ver que ela tem mesmo cara de exata.

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) d y d x + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

cos ⁡ x cos ⁡ y d y + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = 0

Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.

tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0

Agora já estamos prontos pra resolver a equação. Ou melhor a equação já está pronta pra ser resolvida huauha.

Verificando se ela é exata!

Dada tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0 é só olhar e ver que M x ,   y = tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y e que N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y . Logo

∂ M ∂ y = - sen ⁡ x cos ⁡ y = ∂ N ∂ x

Concluímos então que a equação é exata.

Passo 2

Integrando M em relação à x

∫ tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y )

Lembrando que:

ln ⁡ sec ⁡ x = ln ⁡ 1 cos ⁡ x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y ) ∂ y = cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' y = cos ⁡ x cos ⁡ y → g ' y = 0 ∴ g y = 0

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Resposta

As soluções da EDO são dadas implicitamente pela equação

- ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2014.1, Questão 1 item b

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dadas.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

y 1 = 1

Passo 1

Essa equação tem muito cara de ser exata, mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.

Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que M x , y = 2 y 2 x - 3 e N x , y = 2 y x 2 + 4 . A função M é sempre a que multiplica d x e a função N é sempre a que multiplica d y .

∂ M ∂ y = 4 y x

∂ N ∂ x = 4 y x

Como ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ela é exata e podemos partir pro abraço porque o método é tranquilo né?

Passo 2

Integrando M x , y em relação a x

∫ 2 y 2 x - 3   d x = 2 y 2 x 2 2 - 3 x + g y = y 2 x 2 - 3 x + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ y 2 x 2 - 3 x + g ( y ) ∂ y = 2 y x 2 + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

2 y x 2 + g ' y = 2 y x 2 + 4 → g ' y = 4 ∴ g y = 4 y

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = y 2 x 2 - 3 x + 4 y

Passo 6

Como u ( x , y ) = C , onde C é uma constante.

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = C

Passo 7

Utilizando as informações do PVI, y 1 = 1 , temos.

y = 1

x = 1

1 2 1 2 - 3.1 + 4.1 = C

C = 2

Passo 8

A solução é dada implicitamente pela equação

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = 2

y 2 x 2 + 4 y - 3 x - 2 = 0

Precisamos resolver essa equação para achar y , se liga que ela é uma equação de 2 º grau onde

a = x 2

b = 4

c = - 3 x - 2

Então podemos resolver

y = - 4 ± 4 2 - 4 x 2 - 3 x - 2 2 x 2

y = - 4 ± 16 + 12 x 3 + 8 x 2 2 x 2

y = - 4 ± 4 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2 = - 4 ± 2 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2 = - 2 ± 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Passo 9

Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de y quando x = 1

y = - 2 ± 4 + 2 . 1 2 + 3 . 1 3 1 2 = - 2 ± 4 + 2 + 3 1 = - 2 ± 9 1 = - 2 ± 3 1

Como o valor de y = 1 neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Resposta

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. f ) e x 2 + y 2 xd x + yd y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. i )- y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2 d y ,x , y ∈ Ω , onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y0 ∪ { x , y ∈ R 2 | x0 }
Mostre que existem naturais men para os quais a forma diferencial 3 x m + 1 y n + 1 d x + 2 x m + 2 y nd y É exata.
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. d )( x + y )d x + ( x - y ) d y