EDO Exata
Teoria
Opaa, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre EDO exata?! 😉 👇
O que é uma Equação Diferencial Exata?
Segundo o critério de Euler, uma EDO é exata se puder ser escrita da seguinte forma:
Onde:
Não entendeu nada? Bora ver um exemplo então! Vamos considerar a seguinte EDO:
Só de olhar a carinha dessa equação, podemos perceber que ela é de primeira ordem, afinal sua maior derivada tem ordem 1. Além disso não conseguimos isolar a derivada, por isso ela não é uma EDO separável! Vamos verificar se ela é uma EDO exata!
A primeira coisa que temos que fazer é escrever ela no formato de uma EDO exata:
![Critério para uma EDO ser Exata](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/f443760c-1ef2-4332-b770-58b7a4aae14d.webp)
Agora vamos derivar
Opaa! Temos uma EDO exata, bora aprender resolve-la?! 😍
📢 Clique para ver mais:
Como Resolver uma EDO de 1ª Ordem Exata
Vamos ver um passo a passo super completinho pra você aprender de uma vez por todas como resolver uma EDO de 1ª ordem exata! Para isso vamos usar o exemplo que vimos a cima:
Passo 1: Confirme que é uma EDO exata
Como vimos ali em cima, uma EDO é exata se obedece os seguintes critérios:
Já fizemos as continhas lá em cima e descobrimos que a nossa EDO é exata! Então podemos pular essa etapa. 😉
Passo 2: Integre em função de
Integrando temos:
Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:
Passo 3: Derive o que foi obtido no passo 2, em relação a y
No passo 2 a gente integrou
Passo 4: Compare o obtido no passo 3 com N(x)
Comparando o resultado do passo 3 com N(x) a gente consegue isolar g’(x):
Passo 5: Integre g’(x) para achar g(x)
Para isso fazemos:
Passo 6: Obtenha a função
Agora é só correr pro abraço! 😄 Vamos praticar com mais exercícios?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Exercício nº 1 letra “e” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014
Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem, mas da pra ver que separável não deve ser, muito difícil separar isso (se é que é possível)!
Vamos então reescrever a EDO no formato que usamos pras EDOs exatas. Primeiro, multiplicamos cruzado:
E então passamos tudo pro mesmo lado:
Opa, ficou com aquela cara bacana pra gente testar se é uma EDO exata!
e
Para ser exata:
Logo é uma EDO Exata!!
Passo 2
Integrar com relação a
Passo 3
Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4
Compare o obtido no passo 3 com
Integrando com relação a :
Passo 5
Obtenha a função inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
A solução é dada implicitamente por
Resposta
Exercício Resolvido #2
Exercício nº 1 letra “a” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014
Resolva a seguinte equação exata:
Passo 1
Vamos ver se é uma EDO exata!(Mesmo ele dizendo que é, só para treinar)
e
Para ser exata:
Logo é uma EDO Exata!!
Passo 2
Integrar com relação a
Passo 3
Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4
Compare o obtido no passo 3 com
Integrando em relação a temos
Passo 5
Obtenha a função inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
A solução é dada implicitamente por
Resposta
Exercício Resolvido #3
Apostila Cálculo 2A –Prof.ª Cristiane R.R. Argento, Prof. Freddy Hernández
Resolva a equação diferencial
Passo 1
Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Com essa aí temos que manipular um pouco pra ver que ela tem mesmo cara de exata.
Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.
Agora já estamos prontos pra resolver a equação. Ou melhor a equação já está pronta pra ser resolvida huauha.
Verificando se ela é exata!
Dada é só olhar e ver que e que . Logo
Concluímos então que a equação é exata.
Passo 2
Integrando em relação à
Lembrando que:
Passo 3
Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4
Compare o obtido no passo 3 com
Passo 5
Obtenha a função inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
A solução é dada implicitamente por
Resposta
As soluções da EDO são dadas implicitamente pela equação
Exercício Resolvido #4
PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2014.1, Questão 1 item b
Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dadas.
Passo 1
Essa equação tem muito cara de ser exata, mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.
Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que e . A função é sempre a que multiplica e a função é sempre a que multiplica .
Como ela é exata e podemos partir pro abraço porque o método é tranquilo né?
Passo 2
Integrando em relação a
Passo 3
Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4
Compare o obtido no passo 3 com
Passo 5
Obtenha a função inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
Como , onde é uma constante.
Passo 7
Utilizando as informações do PVI,, temos.
Passo 8
A solução é dada implicitamente pela equação
Precisamos resolver essa equação para achar , se liga que ela é uma equação de grau onde
Então podemos resolver
Passo 9
Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de quando
Como o valor de neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais