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Trajetórias Ortogonais

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Teoria

Introdução

Lembra lá quando seu professor repetiu várias e várias e várias e.... várias vezes que uma função diferenciável pode ser aproximada localmente por uma reta? E que o coeficiente angular dessa reta é a tal da derivada?

Então... baseados nisso vamos encontrar as trajetórias ortogonais.

Trajetórias Ortogonais

Trajetórias ortogonais são nada mais do que uma família de curvas que corta uma outra família de curvas (dada no problema) de maneira ortogonal, ou seja, fazendo 90 ° .

Precisamos lembrar de duas coisas:

Uma delas eu já te contei na introdução. Vamos usar a derivada para encontrar essa família.

A outra é um conceito de Geometria Analítica. Quando que duas retas são perpendiculares? O professor de GA disse que “duas retas são perpendiculares se o produto dos seus coeficientes angulares for menos um”.

Pronto, formô! É só juntar uma coisa com a outra que já foi.

Então vamos ter uma família de curvas e queremos encontrar outra família de curvas que seja ortogonal a essa. Logo, vou pegar o coeficiente angular da família que eu tenho e multiplicar pelo coeficiente angular da família que eu quero.

Ah! Dá pra achar o coeficiente angular da família que eu to procurando facilmente.

Chega de blábláblá vamos entender isso...

A essa altura do campeonato você já deve ter percebido que toda vez que você resolve uma equação diferencial encontra uma família de curvas certo? É aquele C ou k que tem lá na solução da EDO.

Então, considere uma família de curvas C que é solução da EDO y ' = f x , y . Para qualquer ponto em uma curva dessa família, o coeficiente angular da reta tangente a essa curva nesse ponto satisfaz a equação y ' = f x , y . Matematicamente falando, pra qualquer ponto x 0 , y 0 o coeficiente angular naquele ponto é f x 0 , y 0 . Estamos procurando uma outra família D tal que o seu coeficiente angular y D ' multiplicado pelo coeficiente angular da família que a gente tinha tenha como resultado - 1 .

Logo

f x , y × y D ' = - 1

Isto é,

y D ' = - 1 f x , y

Deixando de lado o texto e usando um pouco mais de notação!

Dada uma família que é solução da equação diferencial y ' = f x , y a família de trajetórias ortogonais a ela será a solução da EDO y ' = - 1 f x , y .

Tenha isso em mente. É sempre assim que se resolve problemas de trajetórias ortogonais.

Exemplo

Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas da y = C e 2 x

A primeira coisa a ser feita é determinar a EDO da própria família, isto é, determinar seus coeficientes angulares. Para isso, basta derivar em relação a x e equação que define a família.

d y d x = 2 C e 2 x

Da equação da própria família isolando o C , temos C = y e 2 x , então os coeficientes angulares são

d y d x = 2 y e 2 x e 2 x

d y d x = 2 y

Pronto! Temos aí a equação diferencial que dá origem a família que nos foi dada no problema. Queremos agora encontrar a outra família ortogonal a essa. Ela será solução então da equação diferencial

d y d x = - 1 2 y

Feito! É só resolver essa EDO que achamos as trajetórias ortogonais. E olha que legal! É de variáveis separáveis.

Resolvendo a equação diferencial

2 y   d y = - 1   d x

Integrando dos dois lados

∫ 2 y d y = - ∫ d x

y 2 = - x + C

Estão aí as trajetórias ortogonais. São as cuvas dadas por essa equação.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Exercício nº 25 da lista 9 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Achar as trajetórias ortogonais da seguinte família.

OBS: p é um parâmetro

x 2 / 3 + y 2 / 3 = p 2 / 3

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é encontrar a EDO que dá origem à família de hipérboles. E para isso basta derivar a equação em relação à x .

2 3 x - 1 / 3 + 2 3 y - 1 / 3 y ' =   0

y - 1 / 3 y ' =   - x - 1 / 3

d y d x = - y 1 / 3 x 1 / 3

Passo 2

Então a família de curvas que estamos procurando é solução da EDO

d y d x = - 1 - y 1 / 3 x 1 / 3

d y d x = x 1 / 3 y 1 / 3

Passo 3

Resolvendo a EDO

d y d x = x 1 / 3 y 1 / 3

Essa daí acho que é a mais separáveis de todas

y 1 / 3   d y = x 1 / 3 d x

Integrando dos dois lados

∫ y 1 / 3   d y = ∫ x 1 / 3   d x ⇒ y 4 / 3 4 / 3 = x 4 / 3 4 / 3 + C 1

y 4 / 3 4 / 3 - x 4 / 3 4 / 3 = C 1

y 4 / 3 - x 4 / 3 = 4 C 1 3

Resposta

y 4 / 3 - x 4 / 3 = 4 C 1 3

Exercício Resolvido #2

Exercício nº 25 da lista 9 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Encontre as curvas da trajetórias ortogonais de 3 x y 2 = 2 + 3 c 1 x que passam por 0,10

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é encontrar a EDO que dá origem à curva em relação à x .

3 x y 2 = 2 + 3 c 1 x

3 y 2 + 6 x y y ' = 3 c 1

6 x y y ' = 3 c 1 - 3 y 2

y ' = 3 c 1 - 3 y 2 6 x y

Vamos tirar esse c 1 dai, vamos pegar a equação original e isolar o c 1

3 x y 2 - 2 = 3 c 1 x

c 1 = 3 x y 2 - 2 3 x

Então, trocando o valor de c 1 naquela equação que achamos de y ' vai ficar

y ' = 3 3 x y 2 - 2 3 x - 3 y 2 6 x y

y ' = 3 x y 2 - 2 x - 3 y 2 6 x y = 3 x y 2 - 2 x - 3 x y 2 x 6 x y = - 2 6 x 2 y = - 1 3 x 2 y

Passo 2

Então a família de curvas que estamos procurando é solução da EDO

d y d x = - 1 - 1 3 x 2 y

d y d x = 3 x 2 y

Passo 3

Resolvendo a EDO

d y d x = 3 x 2 y

d y y = 3 x 2   d x

Integrando dos dois lados

∫ d y y = ∫ 3 x 2 d x ⇒ ln ⁡ y = 3 x 3 3 + C 2

ln ⁡ y = 3 x 3 3 + C 2 = x 3 + C 2

Passo 4

Ele quer que passe pelo ponto 0,10 então

ln ⁡ 10 = 0 3 + C 2

ln ⁡ 10 = C 2

A família vai ser

ln ⁡ y = x 3 + ln ⁡ 10

ln ⁡ y 10 = x 3

y = 10 e x 3

Resposta

y = 10 e x 3

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo IIA, P2 2014.1, Professor Sérgio Licanic, Questão 2

Encontre as trajetórias ortogonais à família de curvas

x - α 2 + y 2 = α 2 - 1   /   α ≥ 1

Passo 1

De acordo com o que vimos na teoria a primeira coisa que temos que fazer é encontrar a EDO que dá origem a essa família de curvas. E sabemos que é uma EDO do tipo y ' = f x , y . Então depois de algumas manipulações algébricas chegamos em...

x - α 2 + y 2 = α 2 - 1 ⇒ y 2 = α 2 - 1 - x - α 2

Derivando implicitamente em relação a x .

2 y y ' = - 2 x - α

y ' = - x - α y

Da própria equação da família concluímos que α = x 2 + y 2 + 1 2 x . Logo a EDO fica

y ' = - x - x 2 + y 2 + 1 2 x y = - 2 x 2 - x 2 - y 2 - 1 2 x y

y ' = - x 2 - y 2 - 1 2 x y

Passo 2

Estes são os coeficientes angulares das curvas da família que temos. Queremos encontrar outra família com coeficientes angulares iguais a

y ' = - 1 - x 2 - y 2 - 1 2 x y

Que são aqueles perpendiculares ao primeiros.

Passo 3

Temos que resolver então a EDO

y ' = 2 x y x 2 - y 2 - 1

Reorganizando a EDO, temos

d y d x = 2 x y x 2 - y 2 - 1 ⇒ x 2 - y 2 - 1 d y = 2 x y   d x

- 2 x y d x + x 2 - y 2 - 1 d y = 0

Passo 4

A EDO - 2 x y d x + 3 x 2 + y 2 + 1 d y = 0 parece ser exata. Vamos ver...

∂ P ∂ y = - 2 x

∂ Q ∂ x = 2 x

Bom ela não é exata, mais ainda tem chance de admitir um fator integrante.

Passo 5

Procurando o fator integrante

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 2 x - - 2 x = 4 x

Se fizermos

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y P = 4 x - 2 x y = - 2 y

que é uma função contínua que depende apenas de y , logo a equação admite fator integrante e ∫ f y d y .

Passo 6

Calculando o fator integrante.

- 2 ∫ 1 y d y = - 2 ln ⁡ y = ln ⁡ y - 2  

Então o fator integrante é

e ln ⁡ y - 2 = y - 2

Logo a nova equação diferencial

y - 2 - 2 x y d x + y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0

é exata. Pode acreditar. É exata rsrs.

Passo 7

Vamos agora resolver a EDO exata

y - 2 - 2 x y d x + y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0

Note que temos um y aí no meio dessa EDO, apesar de ser perfeitamente possível fazer as contas com o módulo, por questões de simplicidade, vou transformar essa EDO em duas EDO’s equivalentes resolvê-las.

Teremos então a EDO y - 2 - 2 x y d x + y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0 ,   y ≥ 0                                                           ( 1 )

e a EDO - y - 2 - 2 x y d x + - y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0 ,   y < 0                                 ( 2 )

Resolvendo ( 1 )

Integrando P x , y em relação a x

∫ y - 2 - 2 x y d x = - 2 y - 2 y ∫ x d x = - y - 1 x 2 + k y

Derivando em relação a y

∂ ∂ y - y - 1 x 2 + k y = x 2 y - 2 + k ' y

Comparando com Q x , y

x 2 y - 2 + k ' y = y - 2 x 2 - y 2 - 1

x 2 y - 2 + k ' y = x 2 y - 2 - 1 - y - 2

⇓

k ' y = - 1 - y - 2 ⇒ k y = - y + y - 1

Logo φ x , y = - y - 2 x 2 - y + y - 1 ,   y ≥ 0

Passo 8

Resolvendo ( 2 )

- y - 2 - 2 x y d x + - y - 2 x 2 - y 2 - 1 d y = 0 ,   y < 0

Integrando P x , y em relação a x

∫ - y - 2 - 2 x y d x = 2 y - 2 y ∫ x d x = y - 1 x 2 + k y

Derivando em relação a y

∂ ∂ y y - 1 x 2 + k y = - x 2 y - 2 + k ' y

Comparando com Q x , y

- x 2 y - 2 + k ' y = - y - 2 x 2 - y 2 - 1

2 x 2 y - 3 + k ' y = - x 2 y - 2 + 1 + y - 2

⇓

k ' y = + 1 + y - 2 ⇒ k y = y - y - 1

Logo φ x , y = - y - 2 x 2 + y - y - 1 ,   y < 0

Passo 9

φ x , y = - y - 2 x 2 - y + y - 1 ,   y ≥ 0

φ x , y = - y - 2 x 2 + y - y - 1 ,   y < 0

Resposta

Logo as soluções são as curvas definidas implicitamente pelas equações

C 1 = - y - 2 x 2 - y - y - 1 ,   y ≥ 0

C 2 = - y - 2 x 2 + y - y - 1 ,   y < 0

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