Equação de Diferenças
Teoria
Introdução
Temos aqui mais um tipo de Equação que define uma função. Ela é um pouco diferente das EDO’s que já vimos, até porque ela não é uma EDO, ela não envolve derivadas. Ela é muito comum de ser usada em controle populacional. Mas como diabos é essa equação? A que vamos estudar é a linear ela vai ser
Onde
Muito louco isso né? Essa função é o que chamamos de discreta, isso porque ela vai ser definida pontualmente.
Caso homogêneo
Uma coisa que vai acontecer é que na verdade a equação da diferença, geralmente, vai ter esse formato
Onde é um número.
A solução disso é de boa mesmo, nada demais, basta fazer
Onde vai ser o valor inicial dessa função.
Mas assim está muito fácil né? A minha pergunta é como fazer se tivermos uma coisa assim
Agora complicou, né? Nesses casos, temos que procurar padrões nessa parada. Olha só
Viu o padrão? Na verdade essa equação vai ser, neste caso, assim
Caso não homogêneo
Vamos ver mais um tipo de equação discreta. Agora do tipo:
Onde
Veja que agora temos um termo que não existia antes. Quando isso acontece, chamamos a equação de não homogênea.
E a minha pergunta é: como vamos resolver? Relaxa que é de boa. Primeiro temos que achar a solução da homogênea equivalente.
Essa equação já vimos que vamos escrever em função de
Depois vamos achar uma solução particular também em função de . Essa solução particular vai ter sempre a mesma cara, sempre dependendo de
E pronto! Terminamos essa parada. Basta usar essas duas equações para ter a solução geral que será.
Lembra de escrever direitinho, tudo separado explicando para não perder ponto.
Rapidinho né? Fica de boa que isso é bem tranquilo mesmo.
E pronto! Temos a nossa solução, tranquilo?
Caso homogêneo
Caso não homogêneo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp 70 exercício 2
Resolva a equação de Diferença dada em função do valor inicial e descreva seu comportamento quando
Passo 1
Essa é uma equação da diferença onde para cada termo temos uma relação, vamos ver como fica para os primeiros
Então podemos perceber que,
Meio louco isso né? Mas repara que temos sempre um sobre e em cima sempre um produto de consecultivos.
Passo 2
Vamos ver agora como se comporta essa função quando
Resposta
Exercício Resolvido #2
William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp 70 exercício 3
Resolva a equação de Diferença dada em função do valor inicial e descreva seu comportamento quando
Passo 1
Essa é uma equação da diferença onde para cada termo temos uma relação, vamos ver como fica para os primeiros
Então podemos perceber que ele alterna o sinal a cada dois números, ou seja, se for ou ele volta a repetir termos depois,
Isso com
A mesma coisa vai acontecer com e
Então
Com
Passo 2
Vamos ver agora como se comporta essa função quando
Como ela alterna entre e não podemos definir o seu limite, então o limite não existe
Resposta
A função não tem limite.
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Resolva a equação de Diferença dada em função do valor inicial
Passo 1
Aqui temos uma equação não homogênea, primeiro vamos resolver a equivalente homogênea
Lembra como é a solução?
Show vamos para a particular agora
Passo 2
Nesse caso
A solução particular vai ser
Passo 3
A solução geral vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #4
PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2011.2, Questão 1
Resolva as equações de diferenças abaixo:
(a)
(b)
Passo 1
- Para resolver essa equação de diferenças, vamos ver como fica a equação para cara natural.
- Bom, para resolver essa equação de diferenças temos que resolver a equação homogênea associada e depois a solução particular.
Pelo padrão, da pra notar que a solução vai ter a cara de
Substituindo na equação, temos
Temos que mostrar que essa igualdade é valida para todo natural.
Então, desenvolvemos os dois lados e verificamos que são iguais.
O lado esquerdo fica
O lado direito fica
Logo, temos que a solução da equação fica
Passo 2
A equação homogênea associada é dada por
Cuja solução é dada pela equação característica associada
Portanto, a solução é
Passo 2
Para achar a solução particular procuramos soluções da forma
Substituindo na equação, temos
Portanto, a solução particular é
E a solução geral é dada por
Passo 3
Usando as condições iniciais
Temos que
E
Logo
Resposta
(a)
(b)