Coeficientes Constantes Homogênea
Produzido por Carolina SabaTeoria
Introdução:
Faaaaala aí! Vamos dar prosseguimento ao estudo das EDO’s. Você lembra que já vimos como resolver EDO’s de 2ª ordem com coeficientes constantes homogênea? Se não, é só dar uma olhadinha na teoria, que tá tudo bem explicadinho pra você arrasar nessa teoria aqui também! Antes, estávamos tratando de equações desse tipo:
Beleza, agora imagina que tenhamos isso:
A única diferença é que temos derivadas de ordem maior que dois envolvidas.
Como que faremos pra resolver isso? Você vai ver que é muito parecido com EDO de ordem.
Olha mais alguns exemplos do que vamos estudar nessa teoria:
Percebeu alguma semelhança em todas elas? Todas estão igualadas a ZERO e os coeficientes que acompanham e suas derivadas são NÚMEROS. Por isso, é chama de EDO Superior Homogênea com Coeficientes Constantes.
De maneira geral, as EDOs superiores homogêneas têm a seguinte cara:
Com todos , , constantes.
Como que faremos pra resolver isso? Você vai ver que é muito parecido com EDO de ordem.
Encontrando a equação auxiliar:
Pra começar, nada melhor que um exemplo né? Dá uma olhada:
Bom, a ideia aqui é a mesma de EDO de ordem, que seria pensar numa função cujas derivadas sejam bem parecidas com a própria função! Então, chutaremos de novo
Substituindo na EDO:
Maneiro! Temos um produto de duas parcelas sendo zero. Isso significa que ou uma é zero, ou a outra é. Porém, nunca é zero. Logo:
Aeeeee, chegamos num polinômio! Bora resolvê-lo :)
Encontramos nossas três raízes. Vamos escrever as soluções assim, ó:
Podemos agora escrever a solução geral, que vai ser sempre a soma de todos os :
MUITO SHOW! Vamos generalizar?
Dada uma EDO desse tipo:
Montaremos a equação auxiliar:
Encontraremos as raízes da equação e para cada uma delas teremos um . Por fim, escrevemos a solução geral:
Beleza... Agora preciso te dar uma notícia meio chata. Quando temos uma equação de grau devemos ter raízes, o detalhe que não necessariamente temos raízes diferentes, basta que as multiplicidades das raízes somem . Como nós estamos tratando de polinômios, temos que ter em mente que algumas raízes podem ter multiplicidade maior que um (reais ou complexas) :/ Vamos ver cada caso?
Raízes com multiplicidade 1:
Bom, se tem multiplicidade um, temos que ver o caso em que ela é real e o caso em que ela é complexa:
- Se a raiz for real, a solução é dada por
- Se a raiz for complexa, então
Quando temos uma raiz complexa dessa forma podemos garantir que vamos ter uma outra raiz complexa que vai ser
E a solução dessas duas juntas vai ser
Olha um exemplo com raízes complexas:
Começamos com a equação auxiliar
Colocando em evidência:
Isso nos dá que
Todas essas raízes apareceram uma vez só, então tem multiplicidade .
Para , que é uma raiz real, temos
Para , que é complexa, temos
Então a solução geral vai ser:
Raízes com multiplicidade maior que 1:
Imagina que temos duas raízes e iguais (chamaremos ambas de )! A solução de cada uma será:
Entendeu a ideia? Você vai multiplicar a solução pela variável até que ela fique diferente das outras. E se forem quatro raízes iguais?
Sacou? Olha um exemplo:
Começamos com a equação auxiliar:
Mas repara que , então
Isso nos diz que:
Da primeira temos . Esse só tá aí pra você ver que são duas raízes iguais.
Da segunda, tiramos que
Isso é só pra você ver que:
O que nos dá
E as nossas raízes são
Repara que tem uma galera aí com multiplicidade . Agora vamos escrever a solução. Para :
Para :
Então a solução geral vai ser:
Dá trabalho, mas praticando tudo dá certo!
Tá... Mas e na hora de encontrar as raízes, como faço?
Relaxa, vou te ensinar um método muito bom.
Método de Briot-Ruffini
Exemplo: Vamos encontrar a solução geral da EDO abaixo.
A equação auxiliar é:
Como encontrar as raízes dessa equação?!
O detalhe nesse método é que você só pode usá-lo se você conhecer uma raiz. Então, o que a gente faz é ver os candidatos a serem raízes.
Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser , vamos chamar isso de
Qual o valor do cara sem a variável ? Vai ser , vamos chamar isso de
As possíveis raízes vão ser os divisores de sobre os divisores de , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.
Nesse caso, os divisores de são . Os divisores de são . Logo, as possíveis raízes são
Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar . Se der , o valor de é raiz, e se não der , ele não é raiz.
Vamos começar testando
Portanto, é raiz.
Agora que temos uma raiz dessa equação, podemos aplicar o método de Briot-Ruffini para diminuir essa equação em grau. Você lembra como é esse método? Primeiro vamos colocar a nossa equação aqui embaixo:
A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando vezes o elevado aos graus que não aparecem. No nosso caso, todos os graus estão presente na equação.
Agora montamos o seguinte quadrinho:
No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.
Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar:
O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.
Nesse caso fazemos
Esse primeiro nessa equação imediatamente acima é o coeficiente, o segundo é o número do canto superior direito e aquele outro é o próximo coeficiente.
Fazendo essa conta chegamos ao valor , colocamos esse valor embaixo do coeficiente , ficando:
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:
Como aquele último cara deu , a nossa conta está certinha. Se não der alguma conta está errada.
A nossa nova equação vai ser aquela que tem os coeficientes de baixo, tirando aquele , começando com um grau a menos do que o anterior. Neste caso, vamos ter:
Se você repetir todo esse processo a quantidade de vezes necessárias, vai encontrar as raízes que faltam. Eu já fiz e te digo que são:
Beleza, agora que temos todas as raízes podemos achar a solução geral dessa EDO!
Repare que temos uma raiz com multiplicidade e outra com multiplicidade , então a solução para cada raiz vai ser:
E a nossa solução geral vai ser:
Que vai ficar
Finalmente matamos essa questão!!!
Partiu exercícios!