Método de Redução de Ordem
Teoria
Faaaaaala aí, gente boa! Como tu tá? Nem vou ficar de muito papo porque hoje o assunto é pa-pum! Imagina que você tenha essa EDO
“Isso é uma equação de Euler-Cauchy, já vi isso” Eu seeei, meu anjo. Porém, hoje nós vamos ver uma coisinha um pouquinho diferente. Suponha que apareça essa EDO na sua prova e apareça também uma das soluções .
O objetivo dessa teoria é te ensinar a descobrir uma solução quando outra já foi dada 😊
A gente vai supor que a outra solução é da forma
Precisamos então calcular as derivadas para substituirmos na EDO, certo? Vamos lá!
Substituindo isso na EDO, a gente fica com
Ajeitando tudo isso
Considerando ,
Agora simmmm! Chegamos ao ponto principal desse método! Vamos conseguir reduzir a ordem dele! Já viu como? Começa chamando
QUE TRUQUE FOI ESSE? PA
QUE TRUQUE FOI ESSE? QUE TÁ UM ARRASO!
Substituindo
Daí agora já vimos como se resolver! Vamos sempre encontrar uma equação de 1ª ordem!
Se chamarmos ... vai continuar sendo uma contante, certo?
Voltando lá o :
Viu como é de boa? A redução de ordem, na verdade, transforma a sua EDO de ordem em uma EDO linear de ordem.
Bora pros exercícios!!!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UNICAMP - Cálculo 3 - P1 2011 Tarde – 3
Considere a equação diferencial:
Dado que é uma solução da equação, use o método de redução de ordem para determinar uma segunda solução da forma .
Passo 1
Bem bem, ele já deu a ordem, como temos uma solução, o método da redução de ordem permite você encontrar uma solução a partir de outra, vamos fazer o seguinte chute , assim o chute é .
Precisamos derivar esse cara:
Eu tirei esses “”, que mostra a dependência da função em , mas só está implícito, assim facilita as contas.
Substituindo isso na EDO:
Arrumando:
Passo 2
Opa, como só temos derivadas para na EDO, podemos fazer a substituição :
Dividindo tudo por :
Jogando o termo para o lado direito:
Sabemos que , substituindo e separando a EDO:
Integrando de ambos os lados:
As integrais são diretas!
Usando o paranauê chamando e usando a regra da soma de dois logaritmos de mesma base:
Isso só acontece se os termos dentro do logaritmo forem iguais:
Vou tratar que é o caso mais simples(A resposta é a combinação linear das duas soluções, então não tem porque ter constante nessa fase, assim você pode desconsiderar, as constantes aparecerão quando você for mostrar a solução geral, mas se quiser pode continuar com essa constante, vai dar no mesmo)
Sabemos que , substituindo:
Para facilitar, vou supor o seguinte:
Logo:
Assim fica:
Então a solução de é:
Passo 3
Então a solução geral é dada por:
Substituindo:
“E as constantes????? Calma calma, foi a mesma coisa que eu fiz com o anteriormente, a gente pode omitir elas sem problemas, ficam embutidas dentro de e e quando vocês forem substituir as condições iniciais e/ou de contorno, elas aparecerão sem nem você perceber!”
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF - Cálculo IIA - P2 Maria João 2011.1 - 4
A função é solução da equação .
a) Usando o método de redução de ordem determine uma solução (que não seja a solução trivial).
b) Mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 1
O Método de redução de ordem é nada mais nada menos do que supor, conhecendo uma solução, uma nova solução que vai ser a que a gente já conhecia um pouco modificada, isto é multiplicada por uma . Então se conhecemos a solução vamos supor .
Passo 2
Derivando e substituindo na equação temos
Como
Logo uma possível solução.
Passo 3
Vamos verificar se é mesmo uma solução. Derivando duas vezes e substituindo na equação:
Então concluímos que é mesmo uma solução.
Passo 4
Precisamos agora mostrar que e formam um conjunto fundamental de soluções. Ou seja, precisamos saber se elas são LI. Vamos de wronskiano então?
O que mostra que são LI.
Resposta
- Formam um conjunto fundamental de soluções
Exercício Resolvido #3
USP - Cálculo 4 - P3 2012 – 3a
Determine a solução geral da equação sabendo que
Passo 1
Então pela teoria de redução de ordem, vimos que podemos chutar uma solução baseado em outra da seguinte forma:
Então derivando esse cara:
Abrindo a derivada:
É, derivar 3 caras na multiplicação não é legal, mas temos que derivar outra vez ainda, vai ser pelo mesmo raciocínio:
É, virou uma parada gigante, mas da pra juntar uns termos nisso:
Então pra resumir, ficou assim:
Passo 2
Agora temos que substituir o que encontramos na EDO:
Absurdo de grande né? Mas é a vida, temos que arrumar esses caras agora(Eu vou tirar a evidência da dependência de , isso aqui ó , pra ficar menor)
O termo com zerou!!
Ficou assim:
Colocando em evidência:
Temos as soluções (Solução trivial)
Ou:
Passo 3
Até que ficou uma EDO bem bonitinha né? A parada é ir fazendo com calma que a gente chega lá. Bem, agora da para fazer uma substituição bem simples:
Substituindo isso na EDO:
Desenvolvendo:
Sabemos que , substituindo:
É uma EDO separável!
Integrando de ambos os lados:
Vamos lá:
Fazendo a substituindoção simples:
Assim temos que:
Desenvolvendo e supondo
Onde
Mas sabemos que:
Vimos lá no início que supomos
Passo 4
A solução geral é dada pela combinação linear das soluções linearmente independentes: