Método da Variação dos Parâmetros

Produzido por Carolina Saba
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Teoria

Olha quem tá aqui!!! Como é que se diz mesmo? “O bom filho a casa torna”

E aí, beleza? Cara, sei que você já deve estar cansado de casos não homogêneos, mas eles estão no fim! A gente já viu o método dos coeficientes indeterminados. Ele é bem útil para achar a solução particular, mas só serve quando o termo não homogêneo é uma combinação de senos, cossenos, exponenciais e polinômios.

Suponha que você encontre algo desse tipo:

y ' ' x + y x = t g ( x )

É... Complicou né? Pra resolver essa equação, teremos que aprender um novo método e ele se chama método da variação dos parâmetros.

A primeira coisa que temos que ter nesse método é a solução da equação homogênea associada (se você não lembra, é aquela que a gente faz o termo que não envolve  y ( x )  igual a zero). No nosso caso, a homogênea associada é

y ' ' x + y x = 0

Muitas vezes o próprio enunciado nos conta qual é a solução da homogênea, mas e quando ele não nos contar? Choramos? Entregamos a prova em branco?

Nãããão!!! Usamos o método da equação característica (se você não lembra, volta lá na nossa teoria). Para o caso de uma EDO desse tipo

a y ' ' + b y ' + c y = 0

A gente usava a seguinte equação auxiliar

a r 2 + b r + c = 0

E a solução era dada pela nossa querida tabelinha

Aqui no nosso caso, teremos que  a = 1 b = 0 c = 1  . Ficaria:

r 2 + 1 = 0

Então, a solução da homogênea é

y h x = c 1 sen ⁡ x + c 2 c o s ⁡ ( x )

A gente pode escrever essa solução como

y h x = c 1 y 1 + c 2 y 2

PRE PA RA, que agora é hora de começar o método! Para encontrar a solução da EDO não homogênea, ou seja, a solução particular, a gente vai supor que ela é bem parecida com a da homogênea. A única diferença é que aquelas constantes  c 1 , c 2  serão funções  f 1 f 2 , isto é

y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2 → y p x = f 1 x s e n x + f 2 c o s ⁡ ( x )

Cara, eu nunca te pedi nada, mas quero muito que você confie em mim quando eu disser que vou pular a parte dos cálculos mais pesados. É pro seu próprio bem!

As fórmulas pra você encontrar f 1 e f 2 já estão prontinhas pra você!

f 1 x = ∫ y 2 x B x M d x

f 2 x = ∫ - y 1 x B x M d x

Onde B ( x ) é aquela função esquisita que te fez usar esse método, que no nosso caso, é t g ( x ) e

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1

No nosso caso,

M = c o s ⁡ ( x ) - s e n ( x ) s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) = c o s 2 x + s e n 2 x = 1

Então

f 1 x = ∫ cos ⁡ x t g ( x ) d x = - c o s ⁡ ( x )

f 2 x = ∫ - s e n x t g ( x ) d x = s e n x + ln ⁡ cos ⁡ x 2 - s e n x 2 - ln ⁡ s e n x 2 + cos ⁡ x 2

Portanto

y p x = f 1 x s e n x + f 2 c o s ⁡ ( x )

Que vai ser algo bem grande hahaha Depois disso, é só somar com a solução da homogênea e tcharan!!! Prontinho!

Passo a Passo

  1. Arrume a EDO para ficar com a cara y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )
  2. Resolva a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: y h , caso o problema não forneça a solução da homogênea.
  3. Identifique  y 1 ( x )  e  y 2 ( x )
  4. Encontre a cara da solução particular  y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2
  5. Calcule  y 1 ' e y 2 '
  6. Calcule M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1
  7. Calcule
  8. f 1 x = ∫ y 2 x B x M d x

    f 2 x = ∫ - y 1 x B x M d x

  9. Encontre solução geral:  y x = y h x + y p ( x )
  10. Substitua condições iniciais, caso existam

Cara, o melhor jeito de pegar esse passo a passo é fazendo exercício! Bora lá!!!

Passo a Passo

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