Método da Variação dos Parâmetros
Teoria
Olha quem tá aqui!!! Como é que se diz mesmo? “O bom filho a casa torna”
E aí, beleza? Cara, sei que você já deve estar cansado de casos não homogêneos, mas eles estão no fim! A gente já viu o método dos coeficientes indeterminados. Ele é bem útil para achar a solução particular, mas só serve quando o termo não homogêneo é uma combinação de senos, cossenos, exponenciais e polinômios.
Suponha que você encontre algo desse tipo:
É... Complicou né? Pra resolver essa equação, teremos que aprender um novo método e ele se chama método da variação dos parâmetros.
A primeira coisa que temos que ter nesse método é a solução da equação homogênea associada (se você não lembra, é aquela que a gente faz o termo que não envolve igual a zero). No nosso caso, a homogênea associada é
Muitas vezes o próprio enunciado nos conta qual é a solução da homogênea, mas e quando ele não nos contar? Choramos? Entregamos a prova em branco?
Nãããão!!! Usamos o método da equação característica (se você não lembra, volta lá na nossa teoria). Para o caso de uma EDO desse tipo
A gente usava a seguinte equação auxiliar
E a solução era dada pela nossa querida tabelinha
Aqui no nosso caso, teremos que , e . Ficaria:
Então, a solução da homogênea é
A gente pode escrever essa solução como
PRE PA RA, que agora é hora de começar o método! Para encontrar a solução da EDO não homogênea, ou seja, a solução particular, a gente vai supor que ela é bem parecida com a da homogênea. A única diferença é que aquelas constantes , serão funções , , isto é
Cara, eu nunca te pedi nada, mas quero muito que você confie em mim quando eu disser que vou pular a parte dos cálculos mais pesados. É pro seu próprio bem!
As fórmulas pra você encontrar e já estão prontinhas pra você!
Onde é aquela função esquisita que te fez usar esse método, que no nosso caso, é e
No nosso caso,
Então
Portanto
Que vai ser algo bem grande hahaha Depois disso, é só somar com a solução da homogênea e tcharan!!! Prontinho!
Passo a Passo
- Arrume a EDO para ficar com a cara
- Resolva a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: , caso o problema não forneça a solução da homogênea.
- Identifique e
- Encontre a cara da solução particular
- Calcule e
- Calcule
- Calcule
- Encontre solução geral:
- Substitua condições iniciais, caso existam
Cara, o melhor jeito de pegar esse passo a passo é fazendo exercício! Bora lá!!!
Passo a Passo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 217 - 29
Sabendo-se que formam um conjunto fundamental de soluções para em , encontre a solução geral para:
Passo 1
Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:
- Arruma a EDO para ficar com a cara:
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
- Identificar e
- Encontrar a cara da solução particular
- Calcular e
- Calcular
- Calcule
- Encontrar solução geral:
- Substituir condições iniciais caso exista
Passo 2
Seguindo exatamente esses passos temos:
Colocando a equação na forma: )
Temos:
Passo 3
O problema já fornece a solução da homogênea. Temos então:
Passo 4
A solução particular será:
Passo 5
Calculando :
Passo 6
Calculando temos:
Passo 7
Calculando:
Temos:
Como resolver essa integral? Vamos usar a substituição simples:
Substituindo na integral temos:
Calculando :
Vamos fazer uma substituição simples:
Substituindo:
Logo:
Passo 8
Encontrar a solução geral:
Sabemos que :
Logo:
Então:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 218 - 32
Sabendo-se que são soluções linearmente independentes para em ,
- Encontre a solução particular para:
- Dê a equação solução geral para a equação e defina um intervalo para que esta seja válida
Passo 1
Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:
- Arruma a EDO para ficar com a cara:
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
- Identificar e
- Encontrar a cara da solução particular
- Calcular e
- Calcular
- Calcule
- Encontrar solução geral:
- Substituir condições iniciais caso exista
Seguindo exatamente esses passos temos:
- Colocando a equação na forma: )
- O problema já fornece a solução da homogênea.
- Temos então:
- A solução particular será:
- Calculando :
- Calculando temos:
- Calculando:
Temos:
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Pela regra da cadeia:
Também pela regra da cadeia:
Passo 6
Agora, pela relação fundamental da trigonometria:
Portanto,
Passo 7
Temos:
Sabemos ainda que:
Substituindo:
Alguém sabe como resolver isso? Essa integral é meio chatinha mas dá pra fazer.
Vamos começar fazendo a substituição:
Substituindo:
Agora vamos fazer mais uma substituição:
Substituindo temos:
Calculando :
Sabemos que:
Então:
Pois estamos trabalhando com o intervalo
Logo:
Passo 2
b)
- Vamos Encontrar a solução geral:
Sabemos que :
Logo:
Então:
Passo 3
Já encontramos a equação geral mas agora temos que encontrar um intervalo para o qual a equação geral esteja válida. Ou seja, devemos encontrar um intervalo em que todos os termo da EDO devem existir:
Lembre que a função não está definida nos pontos e
Lembrou? Não? Então pra confirmar isso pense no seguinte:
Portanto, não está definido nos pontos onde e dois desses pontos são e . Deu pra entender agora?
Então um intervalo possível seria
Mas na verdade não temos temos .Portanto, um intervalo possível é .
Vamos achar um intervalo para . Aplicando a exponencial em todos os termos temos que o intervalo é equivalente a:
Resposta
No intervalo
Exercício Resolvido #3
Método da variação dos parâmetros(Lagrange)
Determine a solução geral da equação
Passo 1
Bem, com não da pra usar coeficientes a determinar com um do outro lado, então vamos pra variação dos parâmetros!
A primeira coisa se fazer é determinar a solução da homogênea:
Indo para a equação característica:
Assim temos as raízes:
Raiz dupla! Então a solução é:
Passo 2
Pela teoria de variação dos parâmetros, a solução particular é dada por:
Que fica:
Então vamos calular :
Podemos desenhar a matriz para facilitar a memória:
Daí temos que:
Onde
(Você pode usar a chamada regra de Kramer para resolver isso, eu só multiplico pelo inverso mesmo haha, da uma olhada na teoria na parte de de demonstração que tá lá!)
Assim podemos calcular:
Assim temos que
E do mesmo jeito:
Substituindo:
Da para resolver essa integral com uma integração por partes:
Assim fica:
Agora para o próximo:
Novamente por integração por partes:
Assim fica:
Então a solução da particular é:
Substituindo:
Passo 3
A solução geral é dada por:
Assim fica:
Da para colocar em evidência:
Unindo os termos:
Tchã!