Método da Variação dos Parâmetros
Produzido por Carolina SabaTeoria
Olha quem tá aqui!!! Como é que se diz mesmo? “O bom filho a casa torna”
E aí, beleza? Cara, sei que você já deve estar cansado de casos não homogêneos, mas eles estão no fim! A gente já viu o método dos coeficientes indeterminados. Ele é bem útil para achar a solução particular, mas só serve quando o termo não homogêneo é uma combinação de senos, cossenos, exponenciais e polinômios.
Suponha que você encontre algo desse tipo:
É... Complicou né? Pra resolver essa equação, teremos que aprender um novo método e ele se chama método da variação dos parâmetros.
A primeira coisa que temos que ter nesse método é a solução da equação homogênea associada (se você não lembra, é aquela que a gente faz o termo que não envolve igual a zero). No nosso caso, a homogênea associada é
Muitas vezes o próprio enunciado nos conta qual é a solução da homogênea, mas e quando ele não nos contar? Choramos? Entregamos a prova em branco?
Nãããão!!! Usamos o método da equação característica (se você não lembra, volta lá na nossa teoria). Para o caso de uma EDO desse tipo
A gente usava a seguinte equação auxiliar
E a solução era dada pela nossa querida tabelinha
Aqui no nosso caso, teremos que , e . Ficaria:
Então, a solução da homogênea é
A gente pode escrever essa solução como
PRE PA RA, que agora é hora de começar o método! Para encontrar a solução da EDO não homogênea, ou seja, a solução particular, a gente vai supor que ela é bem parecida com a da homogênea. A única diferença é que aquelas constantes , serão funções , , isto é
Cara, eu nunca te pedi nada, mas quero muito que você confie em mim quando eu disser que vou pular a parte dos cálculos mais pesados. É pro seu próprio bem!
As fórmulas pra você encontrar e já estão prontinhas pra você!
Onde é aquela função esquisita que te fez usar esse método, que no nosso caso, é e
No nosso caso,
Então
Portanto
Que vai ser algo bem grande hahaha Depois disso, é só somar com a solução da homogênea e tcharan!!! Prontinho!
Passo a Passo
- Arrume a EDO para ficar com a cara
- Resolva a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: , caso o problema não forneça a solução da homogênea.
- Identifique e
- Encontre a cara da solução particular
- Calcule e
- Calcule
- Calcule
- Encontre solução geral:
- Substitua condições iniciais, caso existam
Cara, o melhor jeito de pegar esse passo a passo é fazendo exercício! Bora lá!!!