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Wronskiano

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender um pouquinho mais sobre Wronskiano, que é uma ferramenta usada em equações diferenciais pra saber se um conjunto de funções são linearmente dependentes ou independentes!

Bora ver isso aí com um pouco mais de detalhes? Vem comigo que já separei um monte de exercícios resolvidos pra você 😆

⭐ Veja também ⭐

Dependência e Independência Linear

Dizemos que duas funções, e , são linearmente dependentes se for uma combinação linear de .

Tá, trocou seis por meia dúzia. Isso aí quer dizer o quê?

Já te explico no textinho logo abaixo. Mas se preferir pode assistir esse videozinho maravilhoso aqui também 👇

Combinação Linear de Funções

A gente vai dizer que é uma combinação linear de se existe uma constante tal que:

Ou seja, duas funções são linearmente dependentes (LD) se uma é múltipla da outra.

Saca só o exemplo:

Essas duas funções serão LD se:

Bora substituir as funções e tentar descobrir se existe essa constante .

Perfeito! e são LD em . Porque pra qualquer valor de !

Tranquilo?

Então, a gente vai falar que um conjunto de funções

é linearmente dependente em um intervalo , se existem constantes não todas nulas, tais que

Caso contrário, elas são linearmente independentes (LI).

Tranquilo?

Beleza, então é só bater o olho nas funções e ver se uma função é múltipla da outra!

Se você conseguir fazer isso aí, sucesso! Masss… já vou avisando que pra nós, meros mortais, nem sempre vai ser tão óbvio igual esse exemplo que fizemos aí em cima.

Figurinha.
Figurinha.

Mas relaxa, aí que entra aquele negócio de nome esquisito lá do título, o tal do Wronskiano 😁

Wronskiano de Funções

O cálculo do Wronskiano vai nos ajudar a descobrir quando duas funções são linearmente independentes. Ele é dado da seguinte forma:

Sejam funções diferenciáveis pelo menos vezes. O Wronskiano dessas funções é dado pelo determinante:

Sem se assustar!

Se a gente tiver duas funções , vamos derivar cada uma só uma vez . E o Wronskiano vai ser de uma matriz

Se tivermos três funções, derivamos cada uma duas vezes. O Wronskiano vai ser de uma matriz .

Tranquilo? Se liga no exemplo:

Exemplo: Sejam e . Calcule .

Para duas funções, nosso Wronskiano vai ser:

Bora encontrar essas derivadas pra podermos substituir.

Moleza, né?

Nosso determinante fica:

Resolvendo isso aí:

Fechou! E aí, a gente faz o que com esse resultado?

Wronskiano e Independência Linear

Tem um teorema que diz o seguinte:

Sejam funções diferenciáveis pelo menos vezes. Se for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo , então as funções são linearmente independentes em .

Toma muito cuidado com isso, viu?! Se o Wronskiano for diferente de zero, então o conjunto de funções é LI. Mas se o Wronskiano for igual a zero, a gente não pode afirmar nada!

Aí teríamos que procurar outro caminho pra saber se as funções são LI ou LD.

Bora resolver mais um exemplo.

Exemplo: Verifique se e são LI ou LD.

Começamos encontrando as derivadas desses caras:

Agora, montamos o Wronskiano:

Beleza, agora pensa aqui comigo: o conjunto será LI quando for diferente de zero.

A gente tem que é o produto de dois termos. O primeiro deles, , nunca vai ser igual a zero. Porque é uma constante não nula, e é impossível elevá-la a alguma coisa que dê zero!

Quanto ao segundo termo:

Quer dizer que nosso conjunto de funções é LI em para .

Tranquilo? Partiu exercícios!

Exemplo: Sejam e . Calcule .

Wronskiano e Independência Linear

Exemplo: Verifique se e são LI ou LD.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 21

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 ( x ) = 1 + x ,   f 2 ( x ) = x , f 3 ( x ) = x 2

Passo 1

Observando as funções dadas no problema, não tem nenhuma que, de cara, podemos desconfiar que seja combinação linear das outras. Logo, para verificar a independência linear, vamos ter de calcular o Wronskiano das funções.

Passo 2

Vimos na teoria como calcular o Wronskiano de duas funções. Para calcular o Wronskiano de 3 funções vamos ter:

W f 1 , f 2 , f 3 = f 1 f 2 f 3 f ' 1 f 2 ' f 3 ' f 1 " f 2 " f 3 "

Portanto vamos começar calculando as derivadas:

Para f 1 ( x )

f 1 x = 1 + x

f 1 ' x = 1

f 1 " ( x ) = 0

Para f 2 ( x )

f 2 x = x

f 2 ' x = 1

f 2 " ( x ) = 0

Para f 3 ( x )

f 3 x = x 2

f 3 ' x = 2 x

f 3 " ( x ) = 2

Perceba que f 1 x , f 2 ( x ) e f 3 ( x ) são diferenciáveis n vezes no intervalo ( - ∞ , ∞ )

Passo 3

Vamos calcular o Wronskiano agora:

W f 1 , f 2 , f 3 = f 1 f 2 f 3 f ' 1 f 2 ' f 3 ' f 1 " f 2 " f 3 " = 1 + x x x 2 1 1 2 x 0 0 2 =

1 + x 2 -   0 - x 2 - 0 + x 2 0 - 0 = 2 + 2 x - 2 x + 0 = 2

Passo 4

Pelo teorema que estudamos, como o Wronskiano nunca se anula no intervalo I = ( - ∞ , ∞ )

Podemos afirmar que f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente Independentes.

Resposta

f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente Independentes.

Exercício Resolvido #2

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 15

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 x = x ,   f 2 x = x 2 , f 3 x = 4 x - x 2

Passo 1

Perceba que f 3 ( x ) tem muita cara de ser uma combinação linear de f 1 ( x ) e f 2 ( x ) . Portanto vamos tentar colocar as funções na forma:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x + k 3 f 3 x = 0  

Com pelo menos uma das 3 constantes diferentes de zero.

Temos então:

k 1 x + k 2 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0   ( i )

Ajeitando temos:

k 1 x + k 2 x 2 = - 4 k 3 x + k 3 x 2

Do termo elevado ao quadrado temos:

k 2 = k 3

Do termo de expoente 1:

k 1 = - 4 k 3

Passo 2

Agora vamos substituir as constantes na equação ( i ) :

- 4 k 3 x + k 3 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0

Fica:

0 = 0

Portanto provamos que f 1 x ,   f 2 ( x ) e f 3 ( x ) são linearmente dependentes.

Resposta

f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente dependentes.

Exercício Resolvido #3

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 20

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 x = 2 + x ,   f 2 x = 2 + | x |

Passo 1

Para que f 1 ( x ) e f 2 ( x ) sejam linearmente dependentes, temos de ter:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x = 0

Para todo x   ∈ ( - ∞ , ∞ ) , com pelo menos uma das constantes diferente de zero.

Ou seja:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x = 0

Tem que ser satisfeita para x   ∈ ( - ∞ , 0 ) , que é o mesmo que x < 0 , e para x   ∈ ( 0 , ∞ ) , que é mesmo que x > 0 .

Passo 2

Vamos analisar a situação x < 0 :

Para x < 0 , f 2 x = 2 - x , então temos:

k 1 2 + x + k 2 2 - x = 0

Fica:

2 k 1 + k 1 x + 2 k 2 - k 2 x = 0

Ajeitando:

2 k 1 + k 1 x = - 2 k 2 + k 2 x

Igualando o termo constante do lado esquerdo com o do lado direito temos:

2 k 1 = - 2 k 2

A única possibilidade é:

k 1 = k 2 = 0

O que não satisfaz as condições para dependência linear pois para isso seria necessário que pelo menos uma das constantes fosse diferente de zero.

Logo, f 1 ( x ) e f 2 ( x ) são linearmente independentes em ( -   ∞ , ∞ )

Resposta

f 1 e   f 2 são Linearmente independentes.

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