Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis

Produzido por Bruno Neres
Ver Todos os Exercícios

Teoria

Vou direto ao ponto: lembra desse cara aqui, lá do cálculo 1?

lim X → 0 ⁡ sen ⁡ X X = 1

Basicamente vamos ver agora que dá pra aplicar exatamente a mesma coisa com funções de mais de uma variável!

Esse é um caso especial da mudança de variável que já vimos. O limite fundamental do seno é bom de usar quando você identificar que uma expressão dentro de um seno se repete no denominador.

Por exemplo:

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Fazemos uma mudança de variável x 2 + y 2 = u (ou qualquer outra letra que você quiser). Assim,

x , y → 0 ,   0   ⇒ u → 0

E o limite fica:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Mas nem sempre vai ficar tão evidente assim: às vezes você vai precisar “cavar” esse limite fundamental, multiplicando ou dividindo por alguma coisa. Saca:

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x 7 x y ∙ e y x + 3

Dentro do seno, temos x 2 + 3 x . Reparamos que no limite aparece o termo x + 3 e que:

x 2 + 3 x = x x + 3

Então vamos multiplicar em cima e em baixo por x pra aparecer esse x 2 + 3 x no denominador! O limite fica: lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x 7 x y ∙ x e y x 2 + 3 x

Cortando o x que apareceu com o x do 7 x y e ajeitando um pouco:

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x x 2 + 3 x ∙ e y 7 y

Fazendo a mudança de variável u = x 2 + 3 x , temos que

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x x 2 + 3 x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Portanto,

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x x 2 + 3 x ∙ e y 7 y = lim x , y → 0 ,   0 ⁡ e y 7 y

Repare que o limite não depende mais de x , então caímos num limite simples de uma variável. Temos

lim y → 0 ⁡ e y = e 0 = 1

Mas pro denominador o sinal de y importa. Como y pode ser negativo ou positivo, temos que separar o limite em 2 casos: y → 0 + e y → 0 - :

lim y → 0 + ⁡ e y 7 y = + ∞

lim y → 0 - ⁡ e y 7 y = - ∞

E é mais ou menos isso que as questões geralmente pedem!

Só mais uma coisa antes de partirmos pros exercícios: tem outro limite notável que é o do cosseno. Ele não é exatamente um limite fundamental mas é bom saber também:

lim X → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ X X = 0

Esse é mais raro cair, mas se aparecer a ideia é a mesma que pro limite fundamental do seno! :)

Exercícios de Livros Relacionados