Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis

A primeira coisa a fazer é substituir os valores de e

Caímos numa indeterminação, mas repare antes da indeterminação temos algo parecido com o limite fundamental trigonométrico.

Podemos transformar, fazendo um algebrismo, esse limite. Vamos multiplicar por

Para considerarmos o limite fundamental a parte dentro do seno deve ser a parte embaixo do seno.

Com esse algebrismo foi isso que fizemos então usando as propriedades de limites

Como

Então

Fazendo a substituição, o limite fica:

Esse foi um caso que já vimos! Substituindo , obtemos uma indeterminação do tipo .

Então aplicamos l’Hôpital

Mano, a dica que te dou é: apareceu então a melhor coisa que você faz é partir pro teorema do sanduíche ou para o limite fundamental . Nesse caso, provavelmente vamos usar os dois. XD

Quando não tem seno nem cosseno, é uma ótima ideia ficar tentando caminhos pra ver se encontramos dois limites diferentes, antes de sair aplicando o teorema do sanduiche. ;)

Então partiu! O argumento do seno é , certo? Então vamos multiplicar em cima e embaixo por essa expressão, que não vai alterar em nada nosso limite:

Como o produto dos limites é o limite do produto, então, como o limite de dá , precisamos apenas olhar agora para o limite de . Se ele não existir, o limite todo não existe.

Tirando essa frescura de que polui pra cacete o visual, vamos trabalhar na expressão . Vou voltar a escrever o limite quando terminarmos de mexer nela ;)

Fazendo o produto do numerador, temos:

Separando os termos do numerador, fica:

Agora, o que vamos pensar é o seguinte: Temos duas frações. Cada uma delas tem um numerador com uma variável que tem o grau igual ou maior a alguma das variáveis do denominador (no caso, a segunda fração tem o , que tem o mesmo grau do do denominador). Então, vamos usar o teorema do sanduíche, fazendo essa variável ficar com o mesmo grau da correspondente do denominador, e tacar no meio do sanduíche!

Para a primeira fração não tem jeito. Ainda bem que esse está com um grau que nos ajuda nas contas rsrs. Colocando , ao invés de , poderemos colocar o no sanduíche:

Então, teremos que:

Dividindo tudo por , temos:

Sacou o mecanismo? Agora provamos que essa fração está limitada! Como , e temos um multiplicando , então vemos que esse limite da !

Fazendo o mesmo para a segunda fração, teremos:

Colocando o no meio do sanduíche, que é a variável que tem o mesmo grau de uma das do numerador, teremos:

Dividindo tudo por , teremos:

E temos mais uma função limitada, multiplicada por um termo que vai pra !

Show! Agora vimos que (colocando o limite de volta nas coisas):

Ou seja, o limite da esquerda vai pra , enquanto o da direita, que é o fundamental, vai pra !

Bom, podemos, para simplificar, separar esse limite em dois, pois o limite do produto é o produto dos limites:

Legal, agora fica mais fácil de visualizar o que faremos :)

Pegando a primeira equação, vemos que pois .

Pegando a segunda equação, vemos que , pois .

Como você deve ter percebido, a causa da indeterminação do limite é multiplicarmos por .

Agora, a nossa estratágia será usar dois limites “muito conhecidos” (por favor não me mate).

Sabemos que:

Então, para o nosso limite, podemos dizer que:

Ok, esse a gente lembrava, mas desculpa se está parecendo tudo “carteado”.

Agora, vamos mexer no limite que envolve a função logaritmo. Se temos:

Podemos fazer que

Então, quando (porque não podemos fazer para menor que ) ,teremos:

Mas usando L’Hospital, podemos dizer que

Que vale:

Assim, podemos afirmar que

Por consequência, pegamos a função do nosso problema e falamos que:

Agora, depois de termos mexido nas nossas funções, teremos que:

E, portanto,

Então, para fazer tudo “voltar a ser o que era” ,temos que multiplicar por Que ficaria assim:

Veja, essa expressão é equivalente a inicial, , pois estamos multiplicando por uma fração e pelo seu inverso, já que essa é a fração que “conserta” a nossa função, fazendo o limite dela ser bem definido.

Resta saber se o limite dessa fração é definido! Se ele for, o nosso limite existirá, pelo teorema do anulamento! Que diz:

“Se temos um limite que existe multiplicado por outro que vai pra , então o limite desse produto também vai pra .”

Vamos usar o teorema do sanduíche pra fração . Veja que, como os termos estão todos ao quadrado, temos que

E vemos, também, que temos em cima e em baixo. Portanto, existe alguma outra fração que é limitada e que é maior que essa. Por exemplo:

Isso prova que a fração que faz o limite do e do serem melhor definidos é limitada!

Agora, podemos afirmar que:

Porque

e

Porque é limitada e (teorema do anulamento)