Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

Produzido por Bruno Neres
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Teoria

A ideia aqui é a gente se deparar com o limite de uma fração aparentemente complicada e dar uma manipulada nela pra conta ficar mais amigável.

E as nossas principais ferramentas pra fazer isso vão ser os produtos notáveis! Isso mesmo, coisa de colégio! Relembrando:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

a - b a + b = a 2 - b 2

Dou uma ênfase especial nesse último, porque ele é o que você mais vai precisar! Lembra daquele macete dos limites de multiplicar pelo conjugado? Aqui vamos fazer exatamente a mesma coisa!

Por exemplo, vamos calcular o limite:

lim x , y → 2,1 ⁡ x - y - 1 x - y - 1

Substituindo os valores x = 2 e y = 1 caímos numa indeterminação 0 0 . Então temos que dar uma ajeitada nisso.

Podemos ver que o numerador e o denominador se parecem bastante. Além do mais, o denominador é um termo do tipo a - b , com

a = x - y

b = 1

Então vamos usar o produto notável!

a - b a + b = a 2 - b 2

No caso vai ser:

x - y - 1 x - y + 1 = x - y 2 - 1 2 = x - y - 1

Opa, isso é exatamente o nosso numerador!

Então vamos multiplicar pelo conjugado, isto é, multiplicar a fração em cima e em baixo por x - y + 1 :

x - y - 1 x - y - 1 ∙ x - y + 1 x - y + 1

Como vimos, em baixo vai dar:

x - y - 1 x - y + 1 = x - y - 1

Ou seja, a fração vai ficar:

x - y - 1 x - y + 1 x - y - 1 = x - y + 1

Enfim, a gente tinha aquela fração toda e apenas manipulando um pouco sobrou só isso, o coitado do nosso conjugado:

lim x , y → 2,1 ⁡ x - y - 1 x - y - 1 = lim x , y → 2,1 ⁡ x - y + 1

Agora podemos calcular o limite:

lim x , y → 2,1 ⁡ x - y + 1 = 1 + 1 = 2

Vamos ver outro exemplo:

lim x , y → 0,0 ⁡ 4 x 2 - 4 x y + y 2 2 x - y

Vendo uma expressão desse tipo, temos que ter o reflexo de associá-la ao produto notável

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

Nesse caso, temos

a 2 = 4 x 2

2 a b = 4 x y

b 2 = y 2

Ou seja:

a = 2 x b = y

Então podemos botar nossa fração na forma:

4 x 2 - 4 x y + y 2 2 x - y = 2 x - y 2 2 x - y = 2 x - y

Enfim, o limite fica:

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x - y = 0

Então basicamente é isso: lembrar das regrinhas de fatoração e produtos notáveis pra calcular limites! :)

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