Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis
Teoria
A ideia aqui é a gente se deparar com o limite de uma fração aparentemente complicada e dar uma manipulada nela pra conta ficar mais amigável.
E as nossas principais ferramentas pra fazer isso vão ser os produtos notáveis! Isso mesmo, coisa de colégio! Relembrando:
Dou uma ênfase especial nesse último, porque ele é o que você mais vai precisar! Lembra daquele macete dos limites de multiplicar pelo conjugado? Aqui vamos fazer exatamente a mesma coisa!
Por exemplo, vamos calcular o limite:
Substituindo os valores e caímos numa indeterminação . Então temos que dar uma ajeitada nisso.
Podemos ver que o numerador e o denominador se parecem bastante. Além do mais, o denominador é um termo do tipo , com
Então vamos usar o produto notável!
No caso vai ser:
Opa, isso é exatamente o nosso numerador!
Então vamos multiplicar pelo conjugado, isto é, multiplicar a fração em cima e em baixo por :
Como vimos, em baixo vai dar:
Ou seja, a fração vai ficar:
Enfim, a gente tinha aquela fração toda e apenas manipulando um pouco sobrou só isso, o coitado do nosso conjugado:
Agora podemos calcular o limite:
Vamos ver outro exemplo:
Vendo uma expressão desse tipo, temos que ter o reflexo de associá-la ao produto notável
Nesse caso, temos
Ou seja:
Então podemos botar nossa fração na forma:
Enfim, o limite fica:
Então basicamente é isso: lembrar das regrinhas de fatoração e produtos notáveis pra calcular limites! :)
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 305 - 17
Encontre os limites reescrevendo primeiro as frações.
Passo 1
a)
Temos a fração
Podemos multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado do termo no denominador. No caso, seria . Aí a fração fica:
Desenvolvendo:
Passo 2
Botando e em evidência no numerador:
Opa, ótimo! Dá pra botar em evidência pra cortar com o denominador. Aproveitando que , temos:
Podemos cortar porque ele diz que , ou seja .
Passo 3
Pronto, agora podemos calcular o limite!
Passo 4
b)
Agora temos a fração
O esquema vai ser o mesmo: vamos nos livrar dessa raiz do denominador multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:
Passo 5
Antes de sair desenvolvendo esse numerador louco, vale a pena dar uma olhada no denominador:
Opa, isso é exatamente a mesma coisa que temos em cima!
Ou seja, nossa fração ficou:
Muito mais simples né?
Obs: podemos cortar o porque o enunciado diz que , o que é equivalente a .
Passo 6
Calculando o limite:
O que dá:
Resposta
a)
b)
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 305 – 19,20
Encontre os limites reescrevendo primeiro as frações.
Passo 1
Vamos lá, temos a fração
Podemos ver que o numerador e o denominador são bem parecidos, inclusive que em cima temos
enquanto embaixo temos
Tá com mó cara que vamos multiplicar pelo conjugado!
Passo 2
Então vamos fazer isso mesmo! No numerador temos 2 termos, na forma , então vamos multiplicar em cima e em baixo por , no caso :
Assim, o numerador fica:
que é exatamente o denominador da nossa fração original! (Que surpresa!)
Passo 3
Então temos
Sabendo que , isso dá:
Passo 4
Calculando o limite:
Resposta
Exercício Resolvido #3
George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 305 – 20
Encontre os limites reescrevendo primeiro as frações.
Passo 1
Agora nossa fração é:
Vamos fazer exatamente a mesma coisa:
O que dá:
O enunciado disse que , ou seja, . Então podemos cortar o e obtemos
Passo 2
Então o limite é: